フィックの法則
テンプレート:出典の明記 フィックの法則（フィックのほうそく、テンプレート:Lang-en-short）とは、物質の拡散に関する基本法則である。気体、液体、固体（金属）どの拡散にも適用できる。フィックの法則には、第1法則と第2法則がある。
この法則は、1855年にアドルフ・オイゲン・フィックによって発表された。フィックは拡散現象を、熱伝導に関するフーリエ (1822) の理論と同じように考えることができるとしてこの法則を与えた[1]。
フィックの第1法則
第1法則は、定常状態拡散、すなわち、拡散による濃度が時間に関して変わらない時に使われる、「拡散流束は濃度勾配に比例する」という法則である。工業的に定常状態拡散は水素ガスの純化に見られる。数式で表すと、
- <math>\boldsymbol{J} = -D\operatorname{grad}c</math>
あるいは1次元なら、
- <math>J = -D\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}x}</math>
となる。ここで、記号の意味は以下である：
- J は拡散束または流束 (flux)といい、単位時間当たりに単位面積を通過する、ある性質の量と定義される。質量が通過する場合には次元は[ML-2T-1]で与えられる。
- D は拡散係数 (diffusion coefficient)といい、次元は[L2T-1]
- c は濃度で、次元は[ML-3]
- x は位置で、次元は[L]
導出
任意の位置x における拡散流束J は濃度勾配に比例する
1次元で説明する。単位面積の断面を持つ、パイプ状の物体を想定する。そして、パイプ中の溶質には、長さ方向に濃度の差（濃度勾配）があるとする。つまり、濃い部分から薄い部分へと溶質が流れる。この時、単位時間当たりに拡散する溶質、つまり拡散流束をJ とし、パイプ中の任意の位置x での濃度をc とする。このとき、フィックの法則より流束J が濃度勾配に比例するから、次のようになる。
- <math>J \propto \frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}x}</math>
ここで、
- <math>\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}x} > 0</math>
ならば溶質はx の負の方向に拡散する。これを考慮してマイナスの符号を入れて、さらに比例定数D を入れると、フィックの第1法則が導き出される。
フィックの第2法則
第2法則は、非定常状態拡散、すなわち、拡散における濃度が時間に関して変わる時に使われる。実際の拡散の状態は、非定常状態がほとんどである。拡散係数D が定数のとき、濃度c の時間変化は次の拡散方程式で表される：
- <math>\frac{\partial c}{\partial t} = -\operatorname{div}\boldsymbol{J} = D\nabla^2 c</math>
これは広義の連続の式と等価である。あるいは1次元なら、
- <math>\frac{\partial c}{\partial t} = D\frac{\partial^2 c}{\partial x^2}</math>
記号は第1法則と同様である。
導出
位置と濃度の時間変化が、それぞれdx とdc である
第2法則は、第1法則から導く。第1法則で導いたのと同じように、単位面積の断面を持つパイプ状の物体を想定する。x とx + dx にはさまれたdx の部分の濃度の時間的変化 ∂c/∂t を考え、任意の位置x での濃度をc 、x + dx での濃度をc + dc とする。 この時、x + dx の境界を通して注目している領域に流れ込む溶質の量はJ(x + dx)、この領域からx の境界を通して流れ出る溶質の量はJ(x) である。これより、
- <math>\frac{\partial c}{\partial t} = J(x) - J(x + \mathrm{d}x)</math> ・・・(1)
ここで第1法則より
- <math>J(x) = -D\left( \frac{\partial c(x,t)}{\partial x} \right),</math>
- <math>J(x+\mathrm{d}x) = J(x)+\frac{\partial J(x)}{\partial x} = -D\left( \frac{\partial c(x,t)}{\partial x} \right)_x - \frac{\partial}{\partial x}\left( D\frac{\partial c(x,t)}{\partial x} \right)_x</math>
であるから、これらを式(1)に代入してフィックの第2法則が導き出される。
- D が定数の場合は、
- <math>\frac{\partial c}{\partial t} = D\frac{\partial^2 c}{\partial x^2}</math>
- となり、比較的容易に解くことができる。初期条件および境界条件によって、いくつかの解がある。
- D が定数でない場合は、
- <math>\frac{\partial c}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left( D\frac{\partial c}{\partial x} \right) = \frac{\partial D}{\partial x}\frac{\partial c}{\partial x} + D\frac{\partial^2 c}{\partial x^2}</math>
- となる。D の関数形にもよるが、解くのは困難になる。
一般の場合
上記では拡散係数D は等方的な定数であるとしたが、より一般には、方向に依存し、濃度勾配と流束が平行であるとは限らない。この場合、D は2階のテンソル量となる[1]。
拡散係数
| 物質1 | 物質2 | 拡散係数（m2/s） | 備考 |
|---|---|---|---|
| O2 | N2 | 1.74テンプレート:E- | 0テンプレート:℃ |
| CO2 | 水 | 1.70テンプレート:E- | 20テンプレート:℃ |
| 水銀 | Cd | 1.53テンプレート:E- | 20テンプレート:℃ |
| エタノール | 水 | 1.13テンプレート:E- | 27テンプレート:℃、1気圧、x C2H6O = 0.05 |
| エタノール | 水 | 0.90テンプレート:E- | 27テンプレート:℃、1気圧、x C2H6O = 0.5 |
| エタノール | 水 | 2.20テンプレート:E- | 27テンプレート:℃、1気圧、x C2H6O = 0.95 |
| ショ糖 | 水 | 5.22テンプレート:E- | 27テンプレート:℃、1気圧 |
アインシュタイン・ストークスの式
ガス分子などの分子拡散の場合、拡散現象はブラウン運動による説明ができ、拡散係数D は次式で与えられる[4]。この式をアインシュタイン・ストークスの式（Stokes-Einstein equation）という[3]。
- <math>D = kTB = \frac{kT}{6\pi\mu a}</math>
無次元数
流体力学でよく用いられる無次元数のなかで、物質の拡散に関係するものには以下がある：
参考文献
関連項目
テンプレート:Chem-stub テンプレート:Physics-stubde:Diffusion#Erstes Fick’sches Gesetz
uk:Коефіцієнт дифузії
