パウリ行列

パウリ行列(ぱうりぎょうれつ)とは、下に挙げる3つの2×2複素行列の組みのことである。<math>\sigma</math>(シグマ)で表記されることが多い。量子力学のスピン角運動量や、部分偏極状態の記述方法に関連が深い。

<math> \sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} </math>

<math> \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix} </math>

<math> \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} </math>

添字は数学では1, 2, 3が使われるが物理学ではx, y, zが使われる。また、座標系によって添字と3つの行列の対応が違ったり、あるいは符号が違ったり、さらには一見全く違って見えることもあるが、本質的な性質は変わらない。

これに単位行列を含めた4つの行列をパウリ行列と呼ぶこともある。

<math> \sigma_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} </math>

基本的な性質

パウリ行列はエルミート行列であり、ユニタリー行列でもある。

パウリ行列<math>\sigma_k(k=1,2,3)</math>のトレース(Tr)と行列式(det)は次のとおり。

<math> \operatorname{Tr}(\sigma_k) = 0 </math>

<math> \det(\sigma_k) = -1 </math>

ちなみに、<math>\sigma_0</math>(単位行列)では <math> \operatorname{Tr}(\sigma_0) = 2 </math> , <math> \det(\sigma_0) = 1 </math> である。

パウリ行列の積については

<math> \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \sigma_0 </math>

<math> \sigma_1 \sigma_2 = i \sigma_3, \quad

       \sigma_2 \sigma_3 = i \sigma_1, \quad
       \sigma_3 \sigma_1 = i \sigma_2 </math>

<math> \sigma_i \sigma_j = -\sigma_j \sigma_i \qquad (i, j = 1,2,3,\ i \ne j) </math>

が成り立つ。これは定義から直接計算すればわかる。これをまとめて

<math> \sigma_i \sigma_j = \delta_{ij} \sigma_0 + i \epsilon_{ijk} \sigma_k \qquad (i,j,k = 1,2,3) \,</math>

と書くことができる。これより交換関係と反交換関係は

<math> [ \sigma_i, \sigma_j ] = 2i \epsilon_{ijk} \sigma_k \,</math>

<math> \{ \sigma_i, \sigma_j \} = 2\delta_{ij} \sigma_0 \,</math>

となる。

任意の2×2複素行列はパウリ行列(単位行列を含めた4つの行列)の線形結合で書ける。このとき係数は一般に複素数である。

また、任意の2×2エルミート行列をパウリ行列の線形結合で書いたとき、係数は実数になる。

部分偏極状態を表現するコヒーレンス行列はエルミート行列であるが、これをパウリ行列で展開した係数を要素とするベクトル(実ベクトル)はストークスベクトルと呼ばれる。ストークスベクトルは、ある種の射影空間であるポアンカレ球の座標系を作る。