エルミート行列

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<math style="float: right; margin: auto 1em;">\begin{pmatrix}2 & 2+i & 4 \\2-i & 3 & i \\4 & -i & 1 \end{pmatrix}</math> 線型代数学におけるエルミート行列(エルミートぎょうれつ、テンプレート:Lang-en-short)または自己随伴行列(じこずいはんぎょうれつ、テンプレート:Lang-en-short)は、複素数に成分をとる正方行列で自身の随伴行列(共軛転置)と一致するようなものを言う。エルミート行列は、実対称行列の複素数に対する拡張版の概念として理解することができる。

行列 A の随伴を A と書くとき、複素行列がエルミートであるということは、

<math> A = A^\dagger</math>

が成り立つということであり、これはまた

<math>A^{\top} = (a_{ji}) = (\bar{a}_{ij}) =\bar{A}</math>

が成り立つことと同値ゆえ、その成分は任意の添字 i, j について (i, j)-成分は (j,i)-成分の複素共軛と等しい。

随伴行列 AA と書かれるほうが普通だが、A を複素共軛(本項では A と書いた)の意味で使う文献もおおく紛らわしい。

エルミート行列の名はシャルル・エルミートに因む。エルミートは1855年に、この形の行列が固有値が常に実数となるという実対称行列と同じ性質を持つことを示した。

よく知られたパウリ行列テンプレート:仮リンクおよびそれらの一般化はエルミートである。理論物理学においてそれらのエルミート行列には、しばしば虚数の係数が掛かって[1][2]歪エルミートとなる。

性質

 A = U \Lambda U^\dagger\qquad (UU^\dagger = I = U^\dagger U)
</math>
が成り立って、対角行列 Λ の主対角線上に並ぶ固有値を λj として
<math>
 A = \sum_{j} \lambda_{j} u_j u_{j}^{\dagger}
</math>
と書くことができる。
\det(A) = \det(A^{\top}),\quad \det(\bar{A}) = \overline{\det(A)}
</math>
から
<math>
 A=A^\dagger \implies \det(A) = \overline{\det(A)}
</math>
を得る。

関連項目

参考文献

テンプレート:Reflist

外部リンク

  • テンプレート:Cite book
  • Physics 125 Course Notes at California Institute of Technology