行列の階数
線型代数学において、行列Aの階数（かいすう、rank）とは、Aの列ベクトルの一次独立なものの最大個数を指し、rank A と表記する。また、線型写像fの階数 rank f も行列Aの階数と一致するのでここで記述する。
定義
行列の階数について、文献によっては列ベクトルの線型独立なものの最大個数を定義とせずに、以下のどれかを定義とする場合もある。
- Aの列ベクトルの線型独立なものの最大個数（このページでの定義）
- Aの行ベクトルの線型独立なものの最大個数
- Aに基本変形を施して階段行列Bを得たとする。このときのBの零ベクトルでない行（または列）の個数（階段の段数とも表現される）
- 表現行列Aの線型写像の像空間の次元。詳しくは#線型写像の階数を見られたし。
- Aの 0 でないような小行列式の最大サイズ
- Aの特異値の数
性質
Aをm×n行列とする。また、fを表現行列Aの線型写像とする
- rankA=rankAT（ATは転置行列）
- Aが零行列のときかつその時に限りrank A=0
- <math>\mathrm{rank} A \le \min(m,n)</math>
- <math>\mathrm{rank} A = \min(m,n)</math> の場合に，Aはフルランク（full rank）を持つ、フルランク行列であるという．
- Aがフルランク行列かつ<math>m \ge n</math>の場合に，Aを行フルランク行列という．
- Aがフルランク行列かつ<math>m \le n</math>の場合に，Aを列フルランク行列という．
- <math>\mathrm{rank} A < \min(m,n)</math>の場合に，Aをランク不足（rank deficient[1]）という．ランク落ちともいう．
- Aが正方行列のとき（すなわちm=n）、そのときrank A=nのときかつその時に限りAは正則行列であり、逆行列A-1が存在する
- Bがn×m行列とした時、rank(AB)について以下の不等式が成立する:
- <math>\mathrm{rank}A + \mathrm{rank}B - m \le \mathrm{rank}(AB) \le \min(\mathrm{rank}A, \mathrm{rank}B)</math>
- Bがn×k行列でrankB=nならば、rank(AB)=rank A
- Cがl×m行列でrankC=mならば、rank(CA)=rank A
- 以下の式が成立するようなm×m正則行列Xとn×n正則行列Yが存在するときかつその時に限り、rankA=rが成立
- <math>
XAY =
\begin{bmatrix}
I_r & 0 \\
0 & 0 \\
\end{bmatrix}
</math>
- なお上の式でIrはr×rの単位行列である。
階数の計算
例えば、行列
- <math>
M = \begin{pmatrix}
4 & 2 & 1 \\ 5 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\
\end{pmatrix} </math> は、基本変形を行うことによって
- <math>
M \iff \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix} </math> と書けるから、M の階数は rank M = 2 である。実際、[第 2 行] = [第 1 行] + [第 3 行] であるから、2 行目の行ベクトルは線型独立でない。ここで、1 行目と 3行目は明らかに線型独立であるから、rank M = 2 である。
浮動小数点を用いたコンピューター上の数値計算においては、この基本変形を用いたりLU分解を用いることで階数を求める方法は、精度が落ちることもあり用いられない。替わりに、特異値分解（SVD）やQR分解を用いて求められる。
線型写像の階数
V, W をベクトル空間とし、線型写像 f: V → W が与えられたとき、f の像 f(V) の次元を線型写像 f の階数と呼び、rk f や rank f などで表す。V や W は一般に無限次元であっても、像の次元 dim f(V) が有限であれば線型写像の階数の概念は意味を持つ。とくに階数有限なる線型写像にはトレースが定義できて、古典群の表現論などで重要な役割を果たす。
V や W が有限次元ならば、行列表現によって f は表現行列 Af の共軛類が対応する。このとき、線型写像の階数と行列の階数との間には rank f = rank Af という関係が成り立つが、行列の階数が正則行列を掛けることに関して不変であることから、この等式の成立は表現行列 Af のとり方に依らない。
ベクトル空間 V, W に対して V が n 次元とすれば、線型写像 f: V → W の階数は n 以下である。実際に、rank f = n となるとき、線型写像 f は非退化（ひたいか、non-degenerate, full rank）であるという。そうでないときには、像 f(V) は f で 0 へ写される元の分だけ「つぶれている」と考えられ、線型写像 f の核
- <math>\ker f := \{ v \in V \mid f(v)=0\} </math>
の次元 dim ker f を f の退化次数と呼ぶ。f の退化次数を nl f や null f などで表すことがある。次の公式
- <math> \dim V = \mathrm{rank}\, f + \mathrm{null}\, f. </math>
が成立し、階数と退化次数の関係式あるいは簡単に階数・退化次数公式 (rank-nullity theorem) などと呼ばれる。
脚注
- ↑ 「rank deficient」に対して和訳が定まっているのかは不明．
