転置行列

転置行列（てんちぎょうれつ、transposed matrix）とは m 行n 列の行列 A に対して A の (i, j) 要素と (j, i) 要素を入れ替えた n 行 m 列の行列、つまり対角線で成分を折り返した行列のことである。転置行列は A^T や ^tA、また A^tr などと表現される。

例

<math>

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}

 a & b & c \\
 d & e & f

\end{pmatrix}

</math>

に対して転置行列 A^T, B^T はそれぞれ

<math>

A^{\mathrm{T}} = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \\ \end{pmatrix}, \quad B^{\rm T} = \begin{pmatrix}

 a & d \\
 b & e \\
 c & f

\end{pmatrix}. </math>

性質

A, B は行列、k はスカラーとして各演算が定義できる限りにおいて次が成り立つ：

• (A^T)^T = A, (A + B)^T = A^T + B^T, (AB)^T = B^TA^T, (kA)^T = kA^T。

• n 次正方行列 A のトレースを tr A とすると tr A = tr A^T。
• n 次正方行列 A と標準内積 (·, ·) に関して (Ax, y) = (x, A^Ty) が任意の n 次元ベクトル x, y に対して成り立つ。

線形写像との関係

m × n 行列 A を n 次元ベクトル空間 V から m 次元ベクトル空間 W への線形写像 f_{A</sup> とみなすとき、A の転置行列 A^T には fA の転置写像が対応する。すなわち、A^T に対応する W の双対空間 W^* から V の双対空間 V^* への線形写像は}

<math>{}^tf_A (\xi) = \xi \circ f_A </math>

(for ξ ∈ W^*) によって定義される写像 ^tf_A: W^* → V^* である。

関連項目

• 対称行列
• 反傾行列
• 随伴行列
• 反対称行列（交代行列、歪対称行列）
• 直交行列

• 双対ベクトル空間