フェルマーの最終定理

フェルマーの解説、特に彼の「最後の定理」(Observatio Domini Petri de Fermat) を含む1670年版ディオファントスの『算術』。

フェルマーの最終定理（フェルマーのさいしゅうていり、Fermat's Last Theorem）とは、3 以上の自然数 n について、xⁿ + yⁿ = zⁿ となる 0 でない自然数 (x, y, z) の組が存在しない^[1]、という定理のことである。フェルマーの大定理とも呼ばれる。

フェルマーが驚くべき証明を得たと書き残したと伝えられ、長らく証明も反例もなされなかったことからフェルマー予想とも称されたが、360年後にアンドリュー・ワイルズによって完全に証明され、ワイルズの定理あるいはフェルマー・ワイルズの定理とも呼ばれるようになった。

概略

17世紀フランスの数学者ピエール・ド・フェルマー（1601年 - 1665年）は、古代ギリシャの数学者ディオファントスの著作『算術』を読み、本文中の記述に関連した着想を得ると、それを余白に書き残しておくという習慣を持っていた。それらは数学的な定理あるいは予想であったが、限られた余白への書き込みであるため、また充分な余白がある場合にも、フェルマーはその証明をしばしば省略した（たとえばフェルマーの小定理として知られる書き込みを実際に証明したのはライプニッツである）。

48か所に及ぶこれらの書き込みが知られるようになったのは、フェルマーの没後、彼の息子サミュエルによって、フェルマーの書き込み入りの『算術』が刊行されてからである^[2]。

第2巻第8問「平方数を2つの平方数の和に表せ^[3]」の欄外余白に、フェルマーは

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.^[4]

立方数を2つの立方数の和に分けることはできない。4乗数を2つの4乗数の和に分けることはできない。一般に、冪（べき）が2より大きいとき、その冪乗数を2つの冪乗数の和に分けることはできない。この定理に関して、私は真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを書くには狭すぎる。

と書き残した。彼の残した他の書き込みは、全て真か偽かの決着がつけられたが、最後まで残ったこの予想だけは、誰も証明することも反例を挙げることもできなかった。そのため「フェルマーの最終定理」と呼ばれるようになり、プロ・アマチュアを問わず、無数の数学者がその証明に挑んだ。

個別研究の時代

証明は、n = 4 のときと n が素数のときのみ考えればよい。たとえば、n = 6 のときは (x²)³ + (y²)³ = (z²)³ と書き直せるからである。n が具体的な値を取るいくつかの場合についてはさまざまな証明が与えられた。

n = 4 ：フェルマー

フェルマー自らが1640年に、以下の手法、法則、定理を使い証明した。

指数の公式に従って x⁴ + y⁴ = z⁴ を (x²)² + (y²)² = (z²)² に変換し、ピタゴラス数の性質を利用する。
x, y, z は互いに素であるとする。
定理「互いに素である2つの数の積が平方数であるならば、2つの数もそれぞれ平方数である。」
x を偶数、z, y を奇数とする。
偶数と奇数の性質
無限降下法

フェルマーによる証明は後にオイラーによって簡潔な形で直される。

n = 3 ：オイラー

オイラーは1753年にゴールドバッハへ宛てた書簡の中で n = 3 の場合の証明法について言及し、1770年に刊行した著書でそれを明らかにした。ただし、この証明は虚数のレベルまで因数分解を行ったものであったが、虚数のレベルまで因数分解をすると様々な複素数の積に分解できてしまうという不備があったので、のちに補正された。

n = 5 ：ソフィ・ジェルマン

ソフィ・ジェルマンは、フェルマー予想を

1) x, y, z のいずれかが n で割り切れる

2) x, y, z のいずれも n で割り切れない

という2つのパターンに分類し、100 以下の全ての n について、パターン 1) に関してはフェルマー予想が正しいことを証明した。しかし、フェルマー予想の反例が含まれるかもしれないパターン 2) に関しての研究は難航した。パターン 2) も含めて n = 5 の場合を完全に証明したのはディリクレとルジャンドルであるが、ジェルマンまでは（そしてジェルマン以降も当面は）「n = 3 のとき」あるいは「n = 4 のとき」といった個別研究の域を出なかったこの問題に対し、指数の範囲が限られているとはいえ包括的な証明を与えようとした点において、ジェルマンの研究成果の意義はきわめて大きい。

n = 14 および 7 ：ラメ

1832年にディリクレは n = 14 の場合を証明したが、上述の通り n が素数である場合の方が肝要なので、これは n = 7 の場合を証明するための途中経過であった。しかし実際に n = 7 の場合を証明したのはラメ（1839年）と、ラメの証明に含まれていた誤りを訂正したヴィクトル・ルベーグ（1840年）であった。

1847年、ラメは「フェルマー予想の一般的解法を発見した」と発表し、同じ解法を自分の方が先に発見していたと主張するコーシーとの間で論争にまでなった。しかしこの解法とは xⁿ + yⁿ = zⁿ の左辺を複素数で素因子分解するというものであり、この分解は一意的なものでないためこの問題に関する解法たりえていないことが指摘される。

また、n = 7 の場合についてのラメの証明があまりにも複雑なものだったため、同様の手法で n = 11 や 13 の場合について研究してみようと思う者はいなくなり、個別研究の時代は終わる。

クンマーの理想数

コーシーとラメが争っていたのと同じ頃、エルンスト・クンマーが自ら打ち立てた理想数の理論（後にデデキントがイデアルの理論として発展させる）を導入する。これにより、多くの素数において一意的な因数分解が可能となり、 n が正則素数である（もしくは正則素数で割り切れる）全ての場合については証明がなされた。虚数レベルでの一意的な因数分解が不可能な非正則素数も無限に存在するが、クンマーは 100 以下の非正則素数（37, 59, 67 の 3 個しかない）についてはそれぞれ個別に研究して解決した。その結果、100 までの全ての素数 n について（当然 100 以下の素数を約数に持つ全ての n についても）フェルマー予想が成り立つことが証明され、それまでの個別研究からこの問題は大きく飛躍した。

1850年、フランス科学アカデミーは、1816年に設けたまま受賞者の出なかった「フェルマー予想の証明者」のための懸賞金を（最終的解決でないことを承知の上で）クンマーに与えた。

近代的アプローチへ

モジュラー形式

ポアンカレは複素平面上の関数についての研究から、保型形式およびそのアイディアをさらに展開したモジュラー形式を案出する。

モーデル予想

ファルティングスによるモーデル予想の解決（1983年）により、フェルマー方程式 xⁿ + yⁿ = zⁿ が整数解をもつならば（つまりフェルマー予想が誤りならば）その解の個数は本質的に有限個しかないことが証明される。この「有限個」が「実は 0 個」であることが示されればフェルマー予想は証明できたことになるが、この方向からの絞り込みには行き詰まりが指摘されていた。ともあれ、この時点でフェルマー予想が「ほとんど全ての場合について正しい」ことが判明したと言うことはできた。

谷山・志村予想

1955年9月、日光で開催された整数論に関する国際会議で、谷山豊が提出した幾つかの「問題」を原型とする数学の予想。そこでは楕円曲線とモジュラー形式の間の深い関係が示唆されており、後に志村五郎によって定式化された。「すべての楕円曲線はモジュラーである」という、発表当時は注目を引かなかったこの谷山・志村予想（今となっては証明されているが）が、のちにフェルマー予想の証明に大きな役割を果たすこととなる。

実はこの前年の1954年、ある保型形式に関するラマヌジャン予想の一部をアイヒラーが証明していた。そこでは「解析的ゼータ＝代数的ゼータ」が示されており、谷山・志村予想の最初の実例と呼べるものだった。

このラマヌジャン予想→谷山・志村予想→ラングランズ予想→超ラングランズ予想という一連の流れ（ゼータの統一）は数論の中心的テーマの1つとなっている。

フライ・セール予想

1984年にフライはフェルマーの最終定理に対する反例 aⁿ + bⁿ = cⁿ からはモジュラーでない楕円曲線（フライ曲線）：

y² = x(x − aⁿ)(x + bⁿ)

が得られ、これは谷山・志村予想に対する反例を与えることになるというアイディアを提示。セールによって定式化されたこの予想はフライ・セールのイプシロン予想と呼ばれ、1986年にケン・リベットによって証明された。

これらの経過は以下のように整理することができる。

まず、フェルマー予想が偽である（フェルマー方程式が自然数解をもつ）と仮定する。
この自然数解からは、モジュラーでない楕円曲線を作ることができる。
谷山・志村予想が正しいならば、モジュラーでない楕円曲線は存在しない。
矛盾が導かれたので、当初の仮定が誤っていることとなる。
したがって、フェルマー予想は真である。（背理法）

つまり、谷山・志村予想が証明されたならば、それはフェルマーの最終定理が証明されたことをも意味するのである。

最終的解決

ファイル:Andrew wiles1-3.jpg

アンドリュー・ワイルズ

プリンストン大学にいたイギリス生まれの数学者アンドリュー・ワイルズは岩澤主予想（en:Iwasawa main conjecture）を解決するなどして、元々数論の研究者として有名な人物であった。彼は10歳当時に触れたフェルマー予想に憧れて数学者となったが、プロとなってからは子供時代の夢は封印し、フェルマー予想のような孤立した骨董品ではなく主流数学の研究に勤しんでいた。ところが1986年、ケン・リベットがフライ・セール予想を解決したことにより、フェルマー予想に挑むことは、主流数学の一大予想に挑むことと同義になってしまった。かつての憧れだったものが、今や骨董品どころか解かずには済まされない中心課題の1つになったのである。ワイルズはこのことに強い衝撃を受け発奮、正にフェルマー予想の解決を目的として、他の研究を全て止めて谷山・志村予想に取り組むこととなった。ただしこの際、彼は人々の耳目を集め過ぎることを懸念して、表面的には未発表の研究成果を小出しにすることで偽装し、谷山・志村予想の研究は秘密裏に遂行することとした。

ワイルズは、代数幾何学（特に楕円曲線と群スキーム）や数論（モジュラー形式やガロア表現、ヘッケ環、岩澤理論）の高度な道具立てを用いて証明を試みたが、類数公式の導出に当り岩澤理論を用いる方向では行き詰まってしまった。そこでコリヴァギン＝フラッハ法（ヴィクター・コリヴァギンとマティアス・フラッハの方法）に基づくよう方針転換し、最後のレビュー段階でプリンストンの同僚ニック・カッツの助けを得るまで、細部に至るまでの証明を完璧な秘密のうちにほぼすべて独力で成し遂げた（ここまでで7年が経過していた）。彼がケンブリッジ大学で1993年の6月21日から23日にかけて3つの講義からなるコースで証明を発表したとき、聴衆は証明に使われた数々の発想と構成に驚愕した。

ただし、その後の査読において、ワイルズの証明には一箇所致命的な誤りがあることが判明した。この修正は難航したが、ワイルズは彼の教え子リチャード・テイラーの助けを借りつつ、約1年後の1994年9月、障害を回避することに成功した。ワイルズ自身、その時の瞬間を「研究を始めて以来、最も大事な一瞬」と語っている。1994年 10月に新しい証明を発表。1995年のAnnals of Mathematics誌において出版し、その証明は、1995年 2月13日に誤りがないことが確認され^[5]、360年に渡る歴史に決着を付けた。なお、証明の過程では、まずはコリヴァギン＝フラッハ法を用いたが、それでは不十分だと判明したので、以前に採用してから放棄していた岩澤理論を併用することで、最終的な証明が完成した。