自然数

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自然数（しぜんすう、テンプレート:Lang-en-short）とは、個数、もしくは順番（これは正確には有限順序数）を表す一群の数のことである。

概要

自然数を 1, 2, 3, … とする流儀と、0, 1, 2, 3, … とする流儀があり、前者は数論などでよく使われ、後者は集合論、論理学などでよく使われる（詳しくは自然数の歴史と零の地位の節を参照）。いずれにしても、0 を自然数に含めるかどうかが問題になるときは、その旨を明記する必要がある。自然数の代わりに非負整数または正整数と言い換えることによりこの問題を避けることもある。なお、日本における初等中等教育では「自然数は 1 から始まる」と指導される。

集合論においては、自然数は物の個数を数える基数のうちで有限のものであると考えることもできるし、物の並べ方を示す順序数のうちで有限のものであると考えることもできる。

数学の基礎付けにおいては、自然数の間の加法についての形式的な逆元を考えることによって整数が定義される。正の整数ないしは負でない整数が自然数と同一視され、自然数を整数の一部として取扱うことができる。自然数と同様に整数の全体も可算無限集合である。

なお、文脈によっては、その一群に属する個々の数（例えば 3 や 18）を指して自然数ということもある。

自然数の歴史と零の地位

自然数は「ものを数える言葉」を起源とし、1 から始まる正の数であったと推定されている。文明が起こり、数字が考え出されたとき、ローマ数字、ギリシア数字、エジプト数字、バビロニア数字、マヤ数字、漢数字、等のどれもが1から始まる正の数字であった。つまり、「物がある」という概念を量的に表そうとしたのが数であり、「物がない」という概念は「無い」という言葉で充分だった。

最初の大きな進歩は、数を表すための記数法の発明であり、これで大きな数を記録することが出来るようになった。古代エジプト人は 1 から百万までの 10 の累乗それぞれに異なるヒエログリフを割り当てる記数法を用いていた。バビロニアでは、数字を離して表記することでその桁が 0 であることを示す六十進法の位取り記数法に似た方法が開発された。しかし、0 を表す文字がなかったため、例えば 10203 は 0 を空白にして "1 2 3" と正しく表記できるが、10200 は "1 2" となって 102 と区別できない欠点があった。オルメカとマヤの文明では紀元前1世紀までには、（バビロニアと同様に）数字を離して 0 の桁を表す方法が独立に用いられていた。

抽象的な概念としての数の体系的な最初の研究は、古代ギリシアにおいてなされ、数論が高度にまで発達した。古代ギリシアの数学者エウクレイデスが編纂した『原論』の第7巻の冒頭で数の定義がなされている[1]。

  1. 単位とは存在するもののおのおのがそれによって 1 とよばれるものである。
  2. 数とは単位から成る多である。

これは定規とコンパスによる作図で数を定義したものと解釈できる。すなわち、任意に与えた線分の長さを単位として 1 を定義する。そして、その線分を延長した直線上で単位を半径とする長さをコンパスで測り、その直線上でその単位を半径とする円との交点を作図し、その円の直径を 2 と定義する。同様にその直線上で円の直径に半径を繋いだ線分を作図し、その線分の長さを 3 と定義する。したがって、1 は数ではなく単位であり、2, 3, 4, …が数になるため、古代ギリシア人は 1 を数として認識しなかったと言える。

1世紀頃、無名のインド人によって、初めて 0 を使った完全な位取り記数法が発明された。彼はソロバンとよく似たビーズ玉計算機で計算していたとき、数のない桁を 0 で書いて、ビーズ玉計算機上の各桁の数をそのまま並べて書き表すと、計算結果を素早く書き残せることに気づいた。この 0 は、インド人の言葉で空（から）の意味を表す「スーニャ」と呼ばれた。こうしてできた記数法は、数の記録と計算に一大革命をもたらす大発明となった。しかし、ここでの 0 は数としての 0 ではなく、空の桁を表す目印に過ぎないものであった。

数としての 0 の概念は628年のインド人数学者ブラーマグプタによって見出され、現代の 0 の概念と近い計算法が考え出された。

19世紀、自然数の集合論的な定義がなされた。この定義によれば零（空集合に対応する）を自然数に含める方がより便利である。集合論、論理学などの分野ではこの流儀に従うことが多い一方、数論などの分野では 0 を自然数には含めない流儀が好まれることが多い。どちらの流儀をとるにしろ、通常は著作あるいは論文毎に定義や注釈で明示される。とくに混乱を避けたい場合には、0 から始まる自然数を指すために非負整数、1 から始まる自然数を指すために正整数という用語を用いることもよくある。

計算機科学、特にプログラミングでは良く 0, 1, 2, … が使われるが、これは記憶装置（メモリー）の住所（アドレス）の相対位置を表すことが多く、相対位置としては 0, -1, -2, … も処理の中で使われることから、自然数というよりは整数の範疇である。

19世紀のドイツの数学者レオポルト・クロネッカーが「整数は神の作ったものだが、他は人間の作ったものである」という言葉を残し、正の整数が自然な数と考えた頃から、自然数という用語が定着したとされる[2]。

形式的な定義

自然数の公理

テンプレート:See also 自然数がどんなものかは子供でも簡単に理解できるが、その定義は簡単ではない。自然数を初めに厳密に定義可能な公理として提示されたものにペアノの公理があり（1891年、ジュゼッペ・ペアノ）、以下のように自然数を定義することができる。

  • 自然数 1 が存在する。
  • 任意の自然数 a にはその後者 (successor) の自然数 suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
  • 異なる自然数は異なる後者を持つ。つまり a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。（ある種の単射性）
  • 1 はいかなる自然数の後者でもない（1 より前の自然数は存在しない）。
  • 1 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。

最後の公理は、数学的帰納法を正当化するものである。また、上の公理に現れる数字は 1 だけであり、自然数 1 からすべての自然数が作り出されることを意味している。一方、この公理の "1" を "0" に置き換えれば、自然数 0, 1, 2, 3, … を作り出せる。

ただし、ペアノの原典においては上とは少し違った形式で公理系が述べられており、ペアノ自身は自然数そのものを定義しようとしたわけではなかった。

集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。

  • 空集合を 0 と定義する。
    <math>0 := \emptyset = \{\}.</math>
  • 任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。
    <math>\mathrm{suc}(a) := a \cup \{a\}.</math>
  • 0 を含み後者関数について閉じている集合のひとつを M とする。
  • 自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」として定義される。

無限集合の公理により集合 M が存在することが分かり、このように定義された集合がペアノの公理を満たすことが示される。 このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。

  • 0 := {}
  • 1 := suc(0) = {0} = {{}}
  • 2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }
  • 3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }

等々である[3]。

このように定義された集合 n は丁度（通常の意味で）n 個の元を含むことになる。また、これは有限順序数の構成であり、（通常の意味で）n ≤ m が成り立つことと n が m の部分集合であることは同値である。

以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。

例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、

  • 0 := {}
  • 1 := {0} = {{}}
  • 2 := {1} = {{{}}}
  • 3 := {2} = {{{{}}}}

と非常に単純な自然数になる。また、0 := {{}}, suc(a) := a ∪ {a} と定義したならば、

  • 0 := {{}}
  • 1 := {{}, 0} = {{}, {{}}}
  • 2 := {{}, 0, 1} = {{}, {{}}, {{},{{}}} }
  • 3 := {{}, 0, 1, 2} = {{}, {{}}, {{},{{}}}, {{},{{}},{{},{{}}}} }

のような多少複雑な自然数になる。

加法と乗法

自然数の加法は再帰的に、以下のように定義できる。

  • すべての自然数 a に対して、a + 0 = a
  • すべての自然数 a, b に対して、a + suc(b) = suc(a + b)

suc(0) := 1 と定義するならば、suc(b) = suc(b + 0) = b + suc(0) = b + 1 となり、b の後者とは単に b + 1 のことである。

加法が定義されたならば、自然数の乗法は再帰的に、以下のように定義できる。

  • すべての自然数 a に対して a × 0 = 0
  • すべての自然数 a, b に対して a × suc(b) = (a × b) + a

加法、乗法とも (i) 0 に対する演算結果を定義し、(ii) ある自然数 b に対する演算結果を用いてその次の自然数 suc(b) に対する演算結果を定義する、と言う形式になっている。(i), (ii) をあわせることで、あらゆる自然数に対する演算結果が一意に得られることになる（数学的帰納法）。自然数は加法について、0 を単位元とする可換モノイドになっている。また、乗法についても、1 を単位元とする可換モノイドになっている。

加法と乗法は以下の法則を満たす。

以上の法則は加法、乗法の定義から数学的帰納法を用いて証明できる。

慣例として、a × b は ab と略記され、乗法は加法より先に計算される。例えば、 a + bc という式は a + (b × c) を意味する。

順序

a+c=b となる自然数 c が存在するとき、またそのときに限って、 a ≤ b と書いて自然数に対する全順序を定義する。この順序は自然数の演算に対して次の性質を満たす。

  • 任意の自然数 a, b, c に対して a ≤ b ならば
    • a + c ≤ b + c
    • ac ≤ bc

順序に関して自然数が持つ重要な性質の一つは、それが整列集合であるということ、つまり自然数を要素とする空でない任意の集合は必ず最小元を持つということである。

除法

ある自然数を他の自然数で割った結果を自然数として得ることは一般には可能でないが、余りつきの除法は可能である。任意の二つの自然数 a と b（ただし、b ≠ 0）に対して次の性質を持つ二つの非負整数 q と r が求められる。

a = bq + r（ただし r < b）

q と r はそれぞれ、a を b で割った商と余りといい、 a と b の任意の組み合わせに対して、一意に決まる。この除法は他のいくつかの性質（整除性）、アルゴリズム（ユークリッドの互除法など）、数論におけるアイデアにおいて鍵となる。

記法

自然数全体の成す集合は普通 Natural number の頭文字をとって N または <math>\mathbb{N}</math> と表される。

0 を含むかどうかの曖昧さを避けるために、正の整数（0 を含まない）を次のように表すこともある:

  • N+ (<math>\mathbb{N}^+</math>) または N+ (<math>\mathbb{N}_+</math>)
  • Z+ (<math>\mathbb{Z}^+</math>) または Z+ (<math>\mathbb{Z}_+</math>) または Z> 0 (<math>\mathbb{Z}_{>0}</math>)

また、非負整数（0 を含む）を表すのに、次の記法が使われることもある:

  • N0 (<math>\mathbb{N}^0</math>) または N0 (<math>\mathbb{N}_0</math>)
  • Z+0 (<math>\mathbb{Z}^+_0</math>) または Z≥ 0 (<math>\mathbb{Z}_{\geq0}</math>)

特殊な自然数

素数

自分自身と 1 以外の約数を持たない 1 より大きな自然数を素数という。無限に存在する。小さい方から列挙すると次の通りである。

2, 3, 5, 7, 11, 13, …

メルセンヌ数、フェルマー数も参照。

双子素数

差が 2 であるような素数の組のこと。例えば 3 と 5、41 と 43 などは双子素数である。双子素数は無限にあるか、という問題は未解決である。

完全数

完全数は自分自身を除く約数の和が自分自身と等しい自然数である。小さい方から列挙すると次の通りである。

6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, …

偶数の完全数はメルセンヌ数と深い関係がある。知られている完全数は全て偶数であり、奇数の完全数はないと予想されている。類似の概念に、友愛数、社交数などがある。

脚注

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関連文献

関連項目

外部リンク


  1. ↑ テンプレート:Harv
  2. ↑ テンプレート:Harv
  3. ↑ テンプレート:Harv
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