友愛数
友愛数（ゆうあいすう）とは、異なる2つの自然数の組で、自分自身を除いた約数の和が、互いに他方と等しくなるような数をいう。親和数とも呼ばれる。
- 220の自分自身を除いた約数は、1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110で、和は284となる。一方、284の自分自身を除いた約数は、1,2,4,71,142で、和は220である。
現在まで知られる友愛数の組は、すべて偶数同士または奇数同士の組である。
友愛数はピタゴラス学派の時代にはすでに知られていた（ダンブリクス Damblichus）。 850年頃にサービト・イブン＝クッラ (826年-901年)によって友愛数を求める事が出来る可能性のある関係式が導き出されている:
- p = 3 × 2n-1 - 1,
- q = 3 × 2n - 1,
- r = 9 × 22n-1 - 1,
ここで、nは、1以上の整数であり、p,q,rが素数であるようなp,q,r,nが存在したとき、 2npqと 2nrは友愛数の対となる。 この式は全ての友愛数の組に対して成立するわけではない。例えば、友愛数の組(220、284), (17,296、18,416), (9,363,584、9,437,056)はこの関係式を満たしているが、(6,232、6,368)は友愛数であるにも関わらずこの関係式を満たさない。
(220, 284)の次に求められた友愛数は(17,296、18,416)である。この友愛数はそれ以前にも求められていたが、フェルマーにより再発見された。その後、オイラーにより60余りの友愛数が求められている。
なお、自分自身を除いた約数の和が元の数と等しい場合には、完全数と呼ばれる。自身を除いた約数の和を次の数として同じように計算していき元の数に戻る場合には、その組を社交数という。
小さい順の友愛数40組
(220、284)、(1,184、1,210)、(2,620、2,924)、(5,020、5,564)、(6,232、6,368)、</br> (10,744、10,856)、(12,285、14,595)、(17,296、18,416)、(63,020、76,084)、(66,928、66,992)、</br> (67,095、71,145)、(69,615、87,633)、(79,750、88,730)、(100,485、124,155)、(122,265、139,815)、</br> (122,368、123,152)、(141,664、153,176)、(142,310、168,730)、(171,856、176,336)、(176,272、180,848)、</br> (185,368、203,432)、(196,724、202,444)、(280,540、365,084)、(308,620、389,924)、(319,550、430,402)、</br> (356,408、399,592)、(437,456、455,344)、(469,028、486,178)、(503,056、514,736)、(522,405、525,915)、</br> (600,392、669,688)、(609,928、686,072)、(624,184、691,256)、(635,624、712,216)、(643,336、652,664)、</br> (667,964、783,556)、(726,104、796,696)、(802,725、863,835)、(879,712、901,424)、(898,216、980,984)
未解決問題
参照：数学上の未解決問題
- 友愛数の組は無限に存在するか？</br>
- x が大きいとき、x より小さい友愛数の個数は<math>xe^{(\log x)^{-\frac{1}{3}}}</math>以下であることが知られている。</br>
- 特に友愛数の逆数の和は収束する。
- 偶数と奇数からなる友愛数の組は存在するか？
参考
C. Pomerance, On the distribution of amicable numbers II, J. reine angew. Math. 325 (1981), 183--188.
Richard K. Guy, Unsolved problems in number theory, 3rd edition, Springer-Verlag, 2004.
