角運動量保存の法則
テンプレート:出典の明記 角運動量保存の法則（かくうんどうりょうほぞんのほうそく）は, 以下のような法則である:
質点系について, 単位時間あたりの全角運動量の変化は, 外力によるトルク (力のモーメント)に等しい（ただし, 内力が中心力であるときに限る）。
この特別な場合として, 外力が働かない（もしくは, 外力が働いていたとしてもそれによるトルクが0の）場合, 質点系の角運動量は常に一定である。例えば、フィギュアスケートの選手がスピンをする際、前に突き出した腕を体に引きつけることで回転が速くなる（角速度が大きくなる）。このとき回転軸から腕先までの距離が短くなるため, かわりに回転が速くなることによって, 角運動量が一定に保たれる。
回転する「こま」は、回転軸にそって、（上から見て）時計回りなら下向きの、反時計回りなら上向きの角運動量を持っている。独楽の回転軸（それは重心を貫いている）が鉛直方向に平行であれば, 独楽にかかる重力と, 床から独楽が受ける垂直抗力が共に1本の直線上（回転軸上）にあるため, 独楽に働く, 外力によるトルクは0である。従って, この場合, 独楽の角運動量は一定であり, 独楽は軸周りの回転だけを続ける。ところが, 独楽が傾くと, 独楽にかかる重力と, 床から独楽が受ける垂直抗力は, 1本の直線上には乗らず, 従って, これらの力がトルクを生じる。このトルクが独楽の角運動量を変化される。その結果, 独楽は本来の回転軸のまわりの回転に加えて, それとは別の軸（独楽と床が接する点を通る鉛直線）のまわりでも回転をする。それが独楽の「みそすり運動」すなわち歳差運動である。
角運動量保存の法則の証明 （1つの質点の場合）
1つの質点の角運動量 <math>\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}</math> の時間変化（時間微分）は以下の式のようになる。
テンプレート:Indent{dt} = \frac{d \vec{r}}{dt} \times \vec{p}+ \vec{r} \times \frac{d \vec{p}}{dt}</math>}}
ここで、<math>\vec{r}</math> は質点の位置ベクトル、<math>\vec{p}</math>は運動量、<math>t</math>は時間である。右辺第一項は、
テンプレート:Indent{dt} \times \vec{p} = \vec{v} \times m \vec{v} = m \vec{v} \times \vec{v} = \vec{0} </math>}}
すなわち、速度 <math>\vec{v}</math> どうしの外積なので<math>\vec{0}</math>となる。よって、<math>d\vec{L} / dt</math>は次のようになる。
テンプレート:Indent{dt} = \vec{r} \times \frac{d \vec{p}}{dt} = \vec{r} \times \vec{F}</math>}}
ここで、<math>\vec{r} \times \vec{F}</math> は、外力 <math>\vec{F}</math> によるトルク (力のモーメント)である。また, 運動方程式<math>d\vec{p}/dt=\vec{F}</math>を使った。この式の意味するところは, 角運動量の時間変化は外力によるモーメントに等しいということである。これにより、以下のことが分かる。
- もし外力がなければ、すなわち <math>\vec{F} = \vec{0}</math> ならば、当然 <math>\vec{r} \times \vec{F} = \vec{0}</math> であり、角運動量は保存される。
- 外力が<math>\vec{r}</math> と平行の場合, <math>\vec{r} \times \vec{F} = \vec{0}</math> すなわちトルクが0となって、角運動量は <math>\vec{L} = \mbox{const.}</math>（一定）となり、保存される。
よって、質点に外力がまったく働かないか、あるいは外力が位置ベクトルに平行(トルクが0)であるならば、その質点の角運動量は保存される。
角運動量保存の法則の証明 （質点系, つまり複数の質点の場合）
n個の質点を考える。i番目の質点を「質点i」と呼ぶ。質点iに関する量を添字iで表す。前項より, 質点iの角運動量について以下が成り立つ: テンプレート:Indent 質点iに働く力<math>\vec{F_i}</math>は, 以下のように表される: テンプレート:Indent+\vec{F_i^e}</math>}} ここで, <math>\vec{F_{ij}}</math>は質点jが質点iに及ぼす力(内力)であり, <math>\vec{F_i^e}</math>は質点iにおよぶ外力である。これを上式に代入し, iについて総和をとれば, テンプレート:Indent+\vec{F_i^e}) = \sum_i \sum_j \vec{r_i} \times \vec{F_{ij}}+\sum_i \vec{r_i} \times \vec{F_i^e}</math>}} となる。右辺第一項は, 作用反作用の法則(<math>\vec{F_{ij}}=-\vec{F_{ji}}</math>)より, 次式のようになる: テンプレート:Indent=\sum_{i<j}{(\vec{r_i}-\vec{r_j})} \times \vec{F_{ij}}</math>}} ここで, もし内力が中心力ならば（すなわち, 質点同士が互いに及ぼす力が, 両者を結ぶ直線上にあるならば）, <math>\vec{r_i}-\vec{r_j}</math>と<math>\vec{F_{ij}}</math>は互いに平行であるので, (外積の性質より)この式の<math>\sum</math>の中は<math>\vec{0}</math>になる。つまりこの式は<math>\vec{0}</math>になる。従って, テンプレート:Indent となる。すなわち, 質点系の全角運動量の時間変化(左辺)は, 質点系に外力が及ぼす全トルク(右辺)に等しい。
ケプラーの法則との関係
ケプラーの法則の第二法則「面積速度一定の法則」は、「角運動量保存の法則」に他ならない。なぜなら、面積速度は テンプレート:Indent と表すことができるが、これを 2<math>m</math> 倍すると角運動量 <math>m\vec{r} \times \vec{v}</math> に等しくなる。この法則は天体の間の引力が中心力であることをあらわしている。
角運動量保存則と空間
一般に物理量の保存則は我々の住む時空の対称性の現れであり、角運動量保存則は空間の回転対称性の現れである。空間については運動量保存則から並進対称性を持つことと併せて、自由な移動に対して対称であって、場所や方向によって物理法則が変わることはない。 ただし、弱い相互作用におけるパリティ対称性の破れから、空間が鏡像対称性を持たないこと、すなわち空間には本質的に左右の区別があることが解っている。
