トラクトリックス

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トラクトリックス

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カテナリーの伸開線としてのトラクトリックス

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トラクトリックスの縮閉線としてのカテナリー

トラクトリックス (tractrix) は直交座標の方程式

<math>\begin{align}

x &= a\log \frac{a \pm \sqrt{a^2 - y^2}}{y} \mp \sqrt{a^2 - y^2} \\ &= a\,{\rm cosh}^{-1}\left(\frac{a}{y}\right) \mp \sqrt{a^2 - y^2} \end{align}</math> によって表される曲線である。牽引線（けんいんせん）、引弧線、犬曲線、追跡線などとも呼ばれる。媒介変数表示では

<math>x=a\left(\log \tan \frac{\theta}{2} + \cos \theta \right),\; y=a\sin \theta</math>

あるいは、<math>\vartheta=\theta +\frac{\pi}{2}</math> として

<math>x=a\left(\operatorname{gd}^{-1}\vartheta - \sin \vartheta \right),\; y=a\cos \vartheta</math>

と表される。ただし、<math>\operatorname{gd}^{-1}\vartheta</math> はグーデルマン関数の逆関数である。 さらに、<math>t=\operatorname{gd}^{-1}\vartheta</math> とおくことにより

<math>x=a\left(t - \tanh t\right),\; y=a\operatorname{sech} t</math>

と表すこともできる。

カテナリーの伸開線に相当し、y軸に対して線対称であり、x軸を漸近線に持つ。テンプレート:仮リンクは (0, a)。