テイラーの定理

テイラーの定理（テイラーのていり、テンプレート:Lang-en）とは、微分積分学における定理の1つで、関数をある1点における高階の微分係数を用いて近似するものである。イギリスの数学者ブルック・テイラーによって1712年に述べられたためにこの名称がある。正確に述べると、次のようになる。

関数 f が閉区間 [a, x] で n 回微分可能であるとき、

<math>f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^{k} + R_n(x)</math>

<math>R_n(x) = {f^{(n)}(c) \over n!} (x-a)^n</math>

を満たす c が開区間 (a, x) 内に存在する。ここで、R_n は剰余項（じょうよこう、residue）と呼ばれる。

R_n の大きさを評価することで、近似がどれだけ正確であるかが分かる。f が無限回微分可能であり、R_n が0に収束する場合、すなわち

<math>\lim_{n \to \infty}R_n(x) = 0</math>

である場合、f(x) はテイラー展開が可能である。そのとき f は解析的(analytic)であるといわれる。

テイラーの定理は平均値の定理を一般化したものになっている。実際、上の式において n = 1 としたもの、つまり

<math>f(x) = f(a) + f'(c)(x-a)</math>

は平均値の定理に他ならない。また、テイラーの定理の証明には平均値の定理が用いられる。剰余項を積分表示したもの(ベルヌーイの剰余)を証明するには微積分学の基本定理を用いる。

剰余項

剰余項 R_n はいくつかの形で表すことができ、場合に応じて使い分けられる。

ベルヌーイの剰余

<math>R_n(x) = \frac{1}{(n-1)!} \int_a^x f^{(n)}(t) (x-t)^{n-1}\,dt.</math>

ロッシュ-シュレミルヒの剰余

<math>(0<p \le n)</math> となる任意の実数pについて、

<math>R_n(x) = \frac{f^{(n)}(a+\theta(x-a))}{(n-1)! p} (1-\theta)^{n-p} (x-a)^{n}</math>

を満たすようなθが開区間 (0, 1) 内に存在する。

ロッシュ-シュレミルヒの剰余において、p = 1とすれば、コーシーの剰余

<math>R_n(x) = \frac{f^{(n)}(a+\theta(x-a))}{(n-1)!} (1-\theta)^{n-1} (x-a)^{n}</math>

が得られる。またp = nとすれば、ラグランジュの剰余

<math>R_n(x) = \frac{f^{(n)}(a+\theta(x-a))}{n!} (x-a)^{n}</math>

が得られる。