ラッセルのパラドックス

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ラッセルのパラドックス（英語：Russell's paradox）とは、素朴集合論において矛盾を導くパラドックスである。バートランド・ラッセルからゴットロープ・フレーゲへの1902年6月16日付けの書簡における、フレーゲの『算術の基本法則』における矛盾を指摘する記述に表れる[1]。これは1903年に出版されたフレーゲの『算術の基本法則』第II巻（Grundgesetze der Arithmetik II）の後書きに収録されている[2]。

ラッセルが型理論（階型理論）を生み出した目的にはこの種のパラドックスを解消するということも含まれていた[3]。

概要

ラッセルのパラドックスとは、自分自身を要素として含まない集合全体の集合 <math>R=\{x \mid x\notin x\}</math> の存在から矛盾が導かれるという、素朴集合論におけるパラドックスである。いま <math>R\in R</math> と仮定すると、<math>R</math> の定義より <math>R\notin R</math> となるから、これは不合理である。したがって（仮定無しで） <math>R\notin R</math> である。ところが <math>R</math> の定義より <math>R\in R</math> となるから、やはり不合理である。

このパラドックスは無制限な内包公理を持つ古典一階述語論理上で形式化された素朴集合論においても生ずる。したがって論理が形式化されていないことが矛盾の原因ではない。上記の証明では排中律並びにそれと同等な論理法則を用いていないから、直観主義論理上の素朴集合論においても矛盾は生ずる。したがって古典論理から直観主義論理に変更しても、ラッセルのパラドックスは回避できない。パラドックスの回避については、様々な方法が提案されている。詳細は後述する。

矛盾の解消

ラッセルの時代には何をもって集合と呼ぶかがはっきりしていなかったので、上記の議論は集合論の矛盾を指摘するかに見えた。しかし公理的集合論によって何をもって集合とするかについての形式的な整備が進むとともに、上記の議論のはじめに考えたような素朴（だが超越的）な<math>R</math> の構成法は集合についての定義としては許容されないような体系が構築された。

結論からいうと、ラッセル自身の指摘は「前述のようなRを考えると矛盾が起こり、集合論は矛盾を含む」というものであったが、公理的集合論ではこれを「前述のようなRを考えると矛盾が起こる。従ってRは集合ではない」と解釈する。

集合論の代表的な公理系である ZFC では、<math>R</math> のような「集合もどき」ではない「まっとうな集合」を作成するために構成的な手法を与えている。すなわち基礎となる集合（空集合）に、「与えられた2つの集合を元とする集合」操作や合併・共通分操作、冪集合といった構成を有限回施してできるものはまっとうな集合として認められる。

しかしここで、「これらの構成的集合以外は集合ではない」とまでは集合の範疇がされていないことに注意しなければならない。このような構成可能性に関する要請のもとでは一般連続体仮説が導かれることがクルト・ゲーデルによって示された。

内包公理「<math>\phi(x)</math> が成り立つ <math>x</math> 全体の集合が存在する」を、どんな条件 <math>\phi(x)</math> に対しても無制限に認めると、上記の集合 <math>R</math> の存在も証明され矛盾する。そのため、公理的集合論では、無制限な内包公理よりも弱い形の集合の存在公理が採用されている。

ZFC では、上記の集合 <math>R</math> が存在しないことから、全ての集合の集合が存在しないことを導くことができる。なぜならば、仮に全ての集合の集合が存在すれば、分出公理を適用することで、上記の集合 <math>R</math> の存在が導かれるからである。

単純型理論では、項に型と呼ばれる自然数 0,1,2,… を割り当て、述語記号 ∈ を (n階の項)∈(n+1階の項) の形でのみ許容する（すなわち論理式の文法を制限する）ことで矛盾を回避する。単純型理論は無制限の内包公理を持つが、無矛盾である。

直観論理から縮約規則を取り除いたBCK論理のような弱い論理の上では、無制限な内包公理を認めた（ただし外延性公理を排除した）素朴集合論が矛盾無く展開できることが知られている。

ウカシェヴィッチの3値論理上の素朴集合論では、 <math>R\in R</math> の真理値を 0.5 (真でも偽でもない)と解釈すればラッセルのパラドックスは生じない。ところが莫少揆のパラドックスと呼ばれる別のパラドックスが生じる。詳細は該当記事を参照。

歴史

起源

通説では1902年6月16日のラッセルのフレーゲ宛て書簡が「ラッセルのパラドックス」の起源とされている。しかし、1899年から1900年頃にエルンスト・ツェルメロが独立に同じパラドックスを発見し、ダフィット・ヒルベルトやエドムント・フッサールに知らせていた。そのため、厳密には「ツェルメロ=ラッセルのパラドックス」と呼ぶべきである[4]。

年表

  • 1879年：フレーゲ『概念記法』出版。
  • 1884年：フレーゲ『算術の基礎』出版。
  • 1888年：デーデキント『数とは何か、何であるべきか』出版。自然数論の始まり。
  • 1893年：フレーゲ『算術の基本法則』出版。
  • 1902年6月16日：ラッセルからフレーゲ宛てにパラドックスを知らせる書簡が投函。
  • 1902年6月22日：フレーゲからラッセル宛てに返信が投函。
  • 1903年：フレーゲ『算術の基本法則』第II巻出版。後書きでラッセルのパラドックスを公開。
  • 1903年：ラッセル The Principles of Mathematics 出版。型理論の始まり。
  • 1903年11月7日：ヒルベルトからフレーゲ宛に返信が投函。ラッセルのパラドックスが3～4年前にツェルメロによって発見されていたことを記載。
  • 1908年：ツェルメロ「集合論の基礎に関する研究」発表。公理的集合論の始まり。

参考文献

参照

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関連項目

外部リンク

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  1. ↑ フレーゲ［2002］pp.118-119
  2. ↑ フレーゲ［2000］pp.403-404
  3. ↑ Russel [1903] Appendix B: The Doctrine of Types
  4. ↑ フレーゲ［2002］pp.90-91
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