ノルム (体論)

体論において、ノルム (norm) は、体の拡大（とくにガロア拡大などの代数拡大）に付随して現れる写像の一種で、拡大体の元をもとの体の元に移す性質を持つ。

定義

体の有限次元拡大 L / K に対し、L の元 α のノルム N_L/K(α) は以下のように定義される。

K の L を含む代数閉包 K^{^} を固定し、σ_i: L → K^{^} (1 ≤ i ≤ n) を K の元を固定する同型の全体とするとき テンプレート:Indent

例

L を複素数体 C, K を実数体 R とすると、R の代数閉包は C であり、R を固定する C の自己同型は恒等写像と複素共役をとる写像の 2 つであるから、任意の複素数 α = a + ibに対して テンプレート:Indent(\alpha)

= \alpha \bar{\alpha} 
= |\alpha|^2 
= a^2 + b^2

</math>}} が拡大 C / R に関する α のノルムである。

性質

• 拡大 L / K について、L の任意の元 α に対し、N_L/K(α) は K の元になる。
• 拡大 L / K と L の元 α, β に対し
  • <math>N_{L/K}(\alpha\beta) =

N_{L/K}(\alpha)\cdot N_{L/K}(\beta).

</math>

• 拡大の列 L / M / K と L の元 α に対し
  • <math>N_{L/K}(\alpha) = N_{L/M}(\alpha)\cdot N_{M/K}(\alpha).</math>
• ヒルベルトの定理 90: 体の拡大 L / K が有限次巡回拡大でそのガロア群が σ で生成されるとき、以下の 2 つの条件が同値である。
  1. N_L/K(α) = 1.
  2. α = β / σ(β) を満たす L の元 β が存在する。

一般化

有限群 G と G 上の加群 M に対して、写像 テンプレート:Indent を G-加群 M のノルム写像という。x の "ノルム" テンプレート:Indent は G の作用に対して不変である。すなわち、M の G-不変な元全体のなす部分加群を M^G とあらわすと Im(N_G) ⊂ M^G が成り立つ。

ガロア拡大 L / K に対して、乗法群 L^* をガロア群 G = Gal(L / K) 上の加群と見なすとノルム写像 N_G は拡大のノルム N_L/K となる。

関連項目

• トレース (体論)