超関数
超関数（ちょうかんすう、generalized function; 一般関数）は、実変数の関数を一般化した概念である。通常はシュワルツの超関数（distribution）か佐藤の超関数（hyperfunction）かのいずれかを指す。
超関数は、連続関数に対する微分の概念を拡張し、偏微分方程式の解空間を拡げた。物理や工学で扱われる不連続な問題においては、デルタ関数のような超関数を解とするような微分方程式が導かれるため重要である。
1935年にセルゲイ・ソボレフ (Sergei Sobolev) が、部分積分を形式的に用いて、微分方程式の解の拡張をしたのをはじめ、何人かの数学者によって微分の拡張が行われ始め、1940年代末にはローラン・シュワルツがこれらを超関数の理論としてまとめた。そして1960年前後に佐藤幹夫がまったく別の見地に立って超関数の理論を組み立てた。
概要
「超関数」の導入は、ディラックのデルタ関数のような通常の関数の概念では許されない「関数」をもそれを「超関数」として扱うことで通常の関数と統一的に扱うことを可能にし、不連続関数の「微分」や偏微分方程式の「弱い解」などに合理的根拠を与えるなど、解析演算の自由度を著しく高めた。
実際に超関数を用いるには、まず通常の関数に対応する要素をもち、かつさらに広い要素にも対処できる１つの数学的表現を定め、それを超関数と定義する。そして例えば関数を微分するなどの演算も対応する超関数の表現に対する操作として定義し直す。こうして例えばヘヴィサイドの階段関数では、それを超関数に読み替えたものを微分すると通常の関数とは解釈出来ない表現が得られる。それがディラックのデルタ関数という名の超関数である。
超関数論では、通常の関数の演算に対応する超関数の表現の操作を定め、超関数の計算規則をつくる。と同時に主な超関数に対して微分やフーリエ変換といった演算を施した結果を求め、それを公式集としてまとめておく。（これらの計算規則や公式は数学的に厳密な表現に対する操作で定義され、実行されているので、数学的な正当性が保証されていることに注意）。すると超関数の計算は、計算規則に則り、公式集の助けを借りて、機械的に行うことが出来て、それを超関数と意識する必要もなくなる。かくして通常の関数に対応する超関数では普通の関数記号f(x)を使ってそのまま演算を実行でき、結果が普通の関数でなくなればディラックのデルタ関数のような超関数の記号が現れる。
こうして超関数を用いることにより、不連続関数の微分、デルタ関数、アダマールの発散積分の有限部分、緩増加関数のフーリエ変換など、従来の数学の枠内には納まらない演算まで自由に扱うことが出来るようになった。
「超関数」は上記の性質を満たすように定義されていれば何でも使えるので、その定義の仕方は１通りではない。通常はこの言葉で代表的な２つの定義方法である、シュワルツの超関数か佐藤の超関数かのいずれかを指す。
名称
「超関数」という言葉自体は日本でつくられた数学用語である。これはシュワルツの著書を訳出するとき、原著では「distribution」（分布）とあった名称を、関数概念を拡張したものの名前であるという実体を取り入れて訳者が「超函数」と意訳したことに始まる。[1] 欧米ではシュワルツの超関数は今でも「distribution」と呼ばれる。そして超関数全般を指すときは「一般化された関数」（generalized function)と云う。それに対し、佐藤の超関数はそれを発表した英文の論文で「hyperfunction」（超関数）という言葉を使ったので、欧米でもその名で呼ばれている。
シュワルツの超関数
シュワルツの超関数は、コンパクトな台をもつ無限回微分可能な関数を試験関数として、そのような試験関数全体のなす関数空間上の連続線型汎関数として定義される。こうして超関数は、その微分可能性が試験関数の微分可能性に移されて常に成り立つことになるなど、極めて良好な性質を持つことになる。詳細はシュワルツの超関数を参照。
一方、その変種として超関数を通常の関数の列の極限として定義して、シュワルツの超関数理論に則って理論体系を作り上げる方法がある。この方法によると、一部数学的厳密性の証明を棚上げにしてではあるが、超関数の非常に解りやすく使い易い理論体系が作られる。参考文献にあるライトヒルの著書を参照。
佐藤の超関数
シュワルツ理論の成功に刺激され、佐藤幹夫は佐藤の超関数 (hyperfunction) のアイデアを導き出した。佐藤の超関数は正則関数の抽象的境界値として定義される。具体的に云えば、複素平面の上半平面で正則な関数 F+(z) と下半平面で正則な関数 F-(z) との実軸上での差、{F+(z) － F-(z)}z=x として定義される。
厳密な理論は、多変数複素関数の成す層係数のコホモロジー理論を用いて、代数的手法によって展開される。こうした代数的手法の解析学への導入は、今日、D加群等に代表される代数解析学や、余接バンドル上で microfunction や microdifferential operator 等を用いる超局所解析学をもたらした。 また、物理学におけるファインマン積分のような形式的方法を厳密な数学の理論へと変えることができたのである。詳細は佐藤の超関数を参照。
参考文献
- テンプレート:Cite book - 「佐藤の超関数」にもとづく体系化。
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- テンプレート:Cite book（テンプレート:Cite book）
- テンプレート:Cite book（テンプレート:Cite book） - 超関数を関数列の極限として定義する手法で解説。
脚注
