離心率

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離心率 e の異なる曲線

離心率（りしんりつ）とは、円錐曲線（二次曲線）の特徴を示す数値のひとつである。

定義

円錐曲線、すなわち円・楕円・放物線・双曲線はいずれも、焦点 F からの距離と、準線 d からの距離の比 e が一定となる点の集合である。この比 e が離心率である。すなわち、円錐曲線上の任意の点 M について、焦点 F からの距離を FM、準線 d からの距離を MM' と表すと

<math>e = \frac{FM}{MM'}</math>

となる。円の場合は、楕円での準線を無限遠方においた極限とみなして離心率は0とする。

離心率と二次曲線の分類

• 離心率 = 0 … 真円
• 0 < 離心率 < 1 … 楕円
• 離心率 = 1 … 放物線
• 1 < 離心率 … 双曲線

楕円の離心率

楕円の場合、長径を 2a、短径を 2b とすると焦点同士の距離は<math>2 \sqrt{a^2 - b^2}</math>となり

<math>e = \frac{2 \sqrt{a^2 - b^2}}{2a} = \sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}</math>

である。したがって、楕円形が真円に近いほど離心率は小さな値をとる。

扁平率 を　f とすると、

<math>f=\frac{a-b}{a}=1-\frac{b}{a}</math>

離心率の２乗　<math>e^2</math>は、

<math>e^2 = \frac{a^2-b^2}{a^2} = f(2-f) </math>

である。 回転楕円体である地球の離心率は、その定義された扁平率から、e = 0.081 819 191 042 815 790（近似値）、e^2 = 0.006 694 380 022 900 788（近似値）である。

楕円に限って言えば、e は“第一離心率”と称され、しばしば次のように定義される第二離心率 e' 及び第三離心率 e' ' も用いられる。

<math>e'=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{b^2}}, \quad e=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}}</math>

第三離心率は、m と表記されることもある。古くはfr:Louis Puissantが m を子午線弧長の計算に使用している記述が1842年の論文中に認められる。

関連項目

• 円錐曲線
• 扁平率
• 軌道離心率

参考文献

• König, R. and Weise, K. H. (1951): Mathematische Grundlagen der höheren Geodäsie und Kartographie, Band 1, Das Erdsphäroid und seine konformen Abbildungen, Springer-Verlag, Berlin/Göttingen/Heidelberg
• Ганьшин, В. Н. (1967): Геометрия земного эллипсоида, Издательство «Недра», Москва
• Puissant, L. (1842): Traité de Géodésie; ou, Exposition des Méthodes Trigonométriques et Astronomiques, applicables à la Mesure de la terre, et à la Construction du Canevas des Cartes Topographiques, 1, Bachelier, Imprimeur-Libraire, Paris, 295-304