ユニタリ変換

数学において、ユニタリ変換とは、2つのベクトルの内積の値が変換の前後で変わらないような変換である。

詳細

より正確には、ユニタリ変換とは2つのヒルベルト空間の間の同型写像である。言い換えれば、ユニタリ変換は、以下のような全単射である。

ここで<math>H_1</math>、<math>H_2</math>はヒルベルト空間であり、<math>H_1</math>上のすべての<math>x</math>と<math>y</math>について

<math>\langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle</math>

ユニタリ変換は等長写像である。

<math>H_1</math>と<math>H_2</math>が同じ空間の場合、ユニタリ変換はそのヒルベルト空間の自己同型写像でユニタリ演算子と呼ばれる。

反ユニタリ変換は以下のような複素ヒルベルト空間の間の全単射である。

ここで<math>H_1</math>上のすべての<math>x</math>と<math>y</math>で

<math>\langle Ux, Uy \rangle = \overline{\langle x, y \rangle}=\langle y, x \rangle</math>

ここで水平バーは複素共役を表す。