対称双線型形式
テンプレート:告知 テンプレート:複数の問題 線型代数学における対称双線型形式（たいしょうそうせんけいけいしき、テンプレート:Lang-en-short）は、ベクトル空間上の対称な双線型形式を言う。より簡単な言い方をすれば、ベクトル空間の元の対をその係数体の元へ写すような写像であって、その対の成分を並べる順番がその対がどの元へ写るかに影響を及ぼさないようなものである。対称な双線型形式は、直交極性や二次曲面の研究に非常に重要である。
文脈上、双線型形式について述べていると明らかな場合は、単に短く対称形式と呼ぶこともある。対称双線型形式は二次形式と近しい関係にあり、この両者の差異に関する詳細はテンプレート:仮リンクの項目を参照。
定義
テンプレート:Math を体 テンプレート:Math 上の テンプレート:Math-次元ベクトル空間とする。写像 テンプレート:Math が、テンプレート:Math 上で対称双線型形式とは、次の条件を満たすことである。
- 対称性: <math>B(u,v)=B(v,u) \quad(\forall u,v \in V)</math>
- 第一引数に関する加法性: <math>B(u+v,w)=B(u,w)+B(v,w)\quad (\forall u,v,w \in V)</math>
- 第一引数に関する斉次性: <math>B(\lambda v,w)=\lambda B(v,w)\quad (\forall \lambda \in K,\forall v,w \in V)</math>
後ろ二つの条件は、テンプレート:Math が第一引数に関して線型であることを言うものでしかないが、最初の条件より直ちに第二引数に関する線型性も従う。すなわち、対称双線型形式 テンプレート:Math は双線型写像（特に双線型形式）である。
行列表現
テンプレート:Math} を テンプレート:Math の基底とし、対称双線型形式 テンプレート:Math に対して テンプレート:Math 行列 テンプレート:Math を
- <math>a_{ij} = B(e_{i},e_{j})</math>
で定義するとき、テンプレート:Math は基底 テンプレート:Math に関して双線型形式 テンプレート:Math を表現する行列という。この行列 テンプレート:Math は、双線型形式 テンプレート:Math が対称であるというまさにそのことを以って、対称行列である。テンプレート:Math 行列 テンプレート:Math がこの基底に関してベクトル テンプレート:Math を表し、同じく テンプレート:Math が テンプレート:Math を表すならば、テンプレート:Math は、
- <math>x^{\top}\!A y=y^{\top}\!A x</math>
により与えられる。テンプレート:Math を テンプレート:Math の別な基底として、正則行列 テンプレート:Math は テンプレート:Math を満たすもの（基底変換）とすれば、対称双線型形式 テンプレート:Math のこの新たな基底 テンプレート:Math に関する行列表現は
- <math>A' =S^{\top}\!A S</math>
で与えられる。
直交性と特異性
対称双線型形式は、常にテンプレート:仮リンクである。二つのベクトル テンプレート:Math と テンプレート:Math が双線型形式 テンプレート:Math に関して直交するとは、テンプレート:Math となること（反射性によりこれは テンプレート:Math と同値）と定義される。
双線型形式 テンプレート:Math の根基 (radical) とは、テンプレート:Math に属する全てのベクトルと（テンプレート:Math に関して）直交するベクトル全体の成す集合を言う。これが テンプレート:Math の部分空間となることは、テンプレート:Math がその各引数に関して線型であることから従う。適当な基底に関する行列表現 テンプレート:Math を用いて述べれば、ベクトル テンプレート:Math が根基に属するための必要十分条件は、テンプレート:Math をこの基底に関して表現する行列を テンプレート:Math として
- <math>A x = 0 \implies x^{\top} A = 0</math>
が成り立つことである。 行列 テンプレート:Math が特異 (singular) であるとは、その根基が非自明であることを言う。
テンプレート:Math の部分集合 テンプレート:Math に対し、その直交補空間 テンプレート:Math は テンプレート:Math の全てのべクトルと直交する テンプレート:Math のベクトル全てからなる集合である（これは テンプレート:Math の部分空間になる）。テンプレート:Math が非退化ならば テンプレート:Math の根基は自明である。また テンプレート:Math の次元は テンプレート:Math である。
直交基底
基底 テンプレート:Math} が テンプレート:Math に関して直交するとは、
- <math>B(e_{i},e_{j}) = 0\quad (\forall i \neq j)</math>
が成り立つことを言う。基礎体の標数が テンプレート:Math でないとき、テンプレート:Math は常に直交基底を持つ。このことの証明は数学的帰納法による。
基底 テンプレート:Math が直交であるための必要十分条件は、その行列表現 テンプレート:Math が対角行列となることである。
符号数とシルベスターの慣性法則
最も一般の場合にテンプレート:仮リンクの主張は順序体 K 上で意味を持ち、表現行列の対角成分の テンプレート:Math である個数、正である個数、負である個数が、直交基底の選択には依存しないことを主張する。これらの 3つの数値は、双線型形式の符号数と呼ばれる。
実係数の場合
実数体上の空間を考える場合には、もう少し詳しく述べることができる。テンプレート:Math} を直交基底とする。
新たな直交基底 テンプレート:Math を
- <math>
e'_i = \begin{cases} e_i & \text{if } B(e_i,e_i)=0 \\[5pt] \frac{e_i}{\sqrt{B(e_i,e_i)}} & \text{if } B(e_i,e_i) >0\\[5pt] \frac{e_i}{\sqrt{-B(e_i,e_i)}}& \text{if } B(e_i,e_i) <0 \end{cases} </math> で定義すると、新たな行列表現 テンプレート:Math は対角線上に テンプレート:Math のみを成分に持つ対角行列になる。テンプレート:Math が現れるのは、根基が非自明となるときであり、かつそのときに限る。
複素係数の場合
複素数体上の空間を扱う場合も、同様に詳しくしかもより平易な形に述べることができる。テンプレート:Math} を直交基底とする。
新たな基底 テンプレート:Math を
- <math>
e'_i = \begin{cases} e_i & \text{if }\; B(e_i,e_i)=0 \\ e_i/\sqrt{B(e_i,e_i)} & \text{if }\; B(e_i,e_i) \neq 0\\ \end{cases} </math> で定義すると、新たな行列表現 テンプレート:Math は対角線上に テンプレート:Math と テンプレート:Math のみを成分に持つ対角行列となる。テンプレート:Math が現れるのは根基が非自明なときであり、かつそのときに限る。
直交偏極
標数が テンプレート:Math でない体 テンプレート:Math の上のベクトル空間 テンプレート:Math 上で定義される、自明な根基を持つ対称双線型形式 テンプレート:Math に対し、テンプレート:Math の部分空間全体の成す集合 テンプレート:Math からそれ自身への写像
- <math>\alpha\colon D(V)\to D(V) ;\; W\mapsto W^{\perp}</math>
を定義することができる。この写像は射影空間 テンプレート:Math 上の直交極性 (orthogonal polarity) である。逆に、全ての直交極性はこの方法により得られる、自明な根基を持つ二つの対称双線型形式が同じ極性を持つための必要十分条件は、それらがスカラー倍の違いを除いて一致することである。
