三角行列のソースを表示

'''三角行列'''（'''さんかくぎょうれつ'''、Triangular matrix）とは対角線の左下、または右上が全て零であるような[[正方行列]]のことである。左下が零のものを'''上三角行列'''といい、右上が零であるものを'''下三角行列'''という。

上三角行列:

:<math>
\begin{pmatrix}
  a_{11} & a_{12} & \cdots & \cdots & a_{1n} \\
     0   & a_{22} & \ddots &        & \vdots \\
     0   &    0   & \ddots & \ddots & \vdots \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & a_{n-1,n} \\
     0   &    0   & \cdots &    0   &  a_{nn}
\end{pmatrix}
</math>

下三角行列:

:<math>
\begin{pmatrix}
  a_{11} &    0   &    0   &   \cdots  & 0 \\
  a_{21} & a_{22} &    0   &   \cdots  & 0 \\
  \vdots & \ddots & \ddots &   \ddots  & \vdots \\
  \vdots &        & \ddots &   \ddots  & 0 \\
  a_{n1} & \cdots & \cdots & a_{n,n-1} & a_{nn}
\end{pmatrix}
</math>

== 性質 ==
* 上三角かつ下三角な正方行列は[[対角行列]]である。
* 上（下）三角行列同士は足してもかけても上（下）三角行列である。
* 三角行列の[[行列式]]は対角成分の積で表される。よって、どの対角成分も零でなければ、三角行列は逆行列を持つ。

* ''n'' 次の、可逆な上三角行列の全体 ''B'' または可逆な下三角行列の全体 ''B' ''は一般線型群 ''GL''<sub>''n''</sub> の[[群論|部分群]]を成す。
* ''n'' 次[[対角行列]]全体の集合の ''GL''<sub>''n''</sub> における正規化群を ''N'' とすると、(''B'', ''N'') あるいは (''B' '', ''N'') は ''GL''<sub>''n''</sub> の[[ティッツ系|BNペア]]になる。

== 関連項目 ==
* [[三角化]]
** [[ガウスの消去法]]（前進消去）
* [[対角行列]]
* [[ジョルダン標準形]]（ジョルダン細胞）

[[Category:行列|さんかくきようれつ]]
[[Category:数学に関する記事|さんかくきようれつ]]