ユニタリ作用素

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数学の一分野、函数解析学におけるユニタリ作用素(ユニタリさようそ、テンプレート:Lang-en-short)は、ヒルベルト空間上のテンプレート:仮リンク、すなわち構造(今の場合は、作用する対象となる空間の線型空間の構造、内積構造およびそこから定まる位相構造)を保つ全単射である。与えられたヒルベルト空間 テンプレート:Mvar からそれ自身へのユニタリ作用素全体の成す集合はを成し、テンプレート:Mvarヒルベルト群 テンプレート:Math と呼ばれることもある。

定義と注意

ヒルベルト空間 テンプレート:Mvar 上の有界線型作用素 テンプレート:Mathユニタリ作用素であるとは、それが テンプレート:Math を満足するときに言う。ただし、テンプレート:Mathテンプレート:Mvarエルミート共軛テンプレート:Math恒等作用素である。

上記よりも弱く、条件 テンプレート:Math のみを満たすものは等距作用素 テンプレート:En と呼ばれ、条件 テンプレート:Math を満たすものは余等距作用素 テンプレート:En と呼ばれる。即ち、ユニタリ作用素は等距かつ余等距なる有界作用素である[1]

内積を用いれば、この定義は以下のように書き直すことができる。

ヒルベルト空間 テンプレート:Mvar 上の有界線型作用素 テンプレート:Math がユニタリであるとは、

 \langle Ux, Uy \rangle_H = \langle x, y \rangle_H
</math>
を満足する

ときにいう。

注意

実は上記定義における条件を、以下のように一見緩いものに取り換えても、同値な定義が得られる。

ヒルベルト空間 テンプレート:Mvar 上の有界線型作用素 テンプレート:Math がユニタリであるとは、テンプレート:Mvar の値域が テンプレート:Mvar において稠密、かつ テンプレート:Mvar がヒルベルト空間 テンプレート:Mvar の内積を保つときにいう。

同値であることを見るには、テンプレート:Mvar が内積を保つことから テンプレート:Mvar が等距(したがって有界線型作用素)となることに注意すればよい。実は テンプレート:Mvar の値域が稠密であることよりそれが有界な逆作用素 テンプレート:Math を持つことが保証されるが、それは明らかに テンプレート:Math を満たす。

またユニタリ作用素の定義において、作用素の線型性は内積の線型性および正定値性から従うので、定義の意味を変えることなく作用素が線型であるという仮定は落とすことができる。実際、

<math>\begin{align}

\| \lambda U(x) -U(\lambda x) \|^2 &= \langle \lambda U(x) -U(\lambda x), \lambda U(x)-U(\lambda x) \rangle \\ &= \| \lambda U(x) \|^2 + \| U(\lambda x) \|^2 - \langle U(\lambda x), \lambda U(x) \rangle - \langle \lambda U(x), U(\lambda x) \rangle \\ &= |\lambda|^2 \| U(x)\|^2 + \| U(\lambda x) \|^2 - \overline{\lambda} \langle U(\lambda x), U(x) \rangle - \lambda \langle U(x), U(\lambda x) \rangle \\ &= |\lambda|^2 \| x \|^2 + \| \lambda x \|^2 - \overline{\lambda} \langle \lambda x, x \rangle - \lambda \langle x, \lambda x \rangle \\ &= 0 \end{align}</math> という計算が成り立つから、斉次性が従う。

<math>\| U(x+y)-(Ux+Uy)\| = 0</math>

も同様に示せるから、加法性も成り立つ。

性質

一般化

ユニタリ作用素を一般化するものとして、ユニタリ元 テンプレート:En がある。テンプレート:仮リンクテンプレート:仮リンクにおいて、その元 テンプレート:Mvar がユニタリ元であるとは、テンプレート:Math を満たすときに言う[2]テンプレート:Rp。ただし、テンプレート:Mvar単位元である。

関連項目

注記

テンプレート:Reflist

参考文献

  • テンプレート:Harv
  • テンプレート:Cite book
  • http://wikippe.e-do-match.com/index.php?title=ユニタリ作用素&oldid=30025」から取得