立方根

立方根（りっぽうこん、cubic root、root of third power）とは、ある数が与えられた時、三乗して与えられた数となるような新たな数を指す。三乗根（さんじょうこん）ともいう。

定義

積の定義された集合 E を固定して考える。E の元 a に対し、a = x³ を満たす x ∈ E が存在するとき、x は E における a の立方根であるという。また、立方根を求めることを開立（かいりゅう）という。

a が実数であれば a の立方根は実数の範囲に常にただ一つ存在 し、それを <math>\sqrt[3]{a}</math> と表す。

正の数 a に対して、
<math>\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}.</math>
1 の虚立方根の一つを ω とすると、もう一つの虚立方根は ω² であり、ω, ω² はともに 1 の原始冪根である。また、1 + ω + ω² = 0 が成り立つ。
α が 0 でない複素数ならば、α の立方根は常に 3 個あり、それらは複素数平面上で、原点 0 を中心とする半径 <math>\sqrt[3]{|\alpha|}</math> の円に内接する正三角形の頂点になる。