極限の一覧
極限の一覧は、解析学における代表的な関数の極限の一覧である。極限に関しては極限の項を参照のこと。
以下で、xは変数、a、b、cは定数である。
一般的な極限の性質
- <math>\mbox{If }\lim_{x \to c} f(x) = L_1 \mbox{ and }\lim_{x \to c} g(x) = L_2 \mbox{ then:}</math>
- <math>\lim_{x \to c} \, [f(x) \pm g(x)] = L_1 \pm L_2</math>
- <math>\lim_{x \to c} \, [f(x)g(x)] = L_1 \times L_2</math>
- <math>\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L_1}{L_2} \qquad \mbox{ if } L_2 \ne 0</math>
- <math>\lim_{x \to c} \, f(x)^n = L_1^n \qquad \mbox{ if }n \mbox{ is a positive integer}</math>
- <math>\lim_{x \to c} \, f(x)^{1 \over n} = L_1^{1 \over n} \qquad \mbox{ if }n \mbox{ is a positive integer, and if } n \mbox{ is even, then } L_1 > 0</math>
- <math>\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} \qquad \mbox{ if } \lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} g(x) = 0 \mbox { or } \lim_{x \to c} |g(x)| = +\infty</math> (ロピタルの定理)
単純な関数
- <math>\lim_{x \to c} a = a</math>
- <math>\lim_{x \to c} x = c</math>
- <math>\lim_{x \to c} (ax + b) = ac + b</math>
- <math>\lim_{x \to c} x^r = c^r \qquad \mbox{ if } r \mbox{ is a positive integer}</math>
- <math>\lim_{x \to +0} \frac{1}{x^r} = +\infty</math>
- <math>\lim_{x \to -0} \frac{1}{x^r} = \left\{ \begin{matrix} -\infty, & \mbox{if } r \mbox{ is odd} \\ +\infty, & \mbox{if } r \mbox{ is even}\end{matrix} \right.</math>
対数関数と指数関数
- <math>\lim_{x \to +0} \log_a x = -\infty</math>
- <math>\lim_{x \to -\infty} a^x = 0 \qquad \mbox{ if } a > 1</math>
三角関数
- <math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1</math>
- <math>\lim_{x \to a} \sin x = \sin a</math>
- <math>\lim_{x \to a} \cos x = \cos a</math>
- <math>\lim_{x \to n\pm} \tan \left(\pi x + \frac{\pi}{2}\right) = \mp\infty \qquad \mbox{ for any integer } n</math>
その他の諸関数
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{N}{x}=0 \mbox{ for any real number } N </math>
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{x}{N}=\begin{cases} \infty, & N > 0 \\ \mbox{does not exist}, & N = 0 \\ -\infty, & N < 0 \end{cases}</math>
<math>\lim_{x\to\infty}x^N=\begin{cases} \infty, & N > 0 \\ 1, & N = 0 \\ 0, & N < 0 \end{cases}</math>
<math>\lim_{x\to\infty}N^x=\begin{cases} \infty, & N > 1 \\ 1, & N = 1 \\ 0, & N < 1 \end{cases}</math>
<math>\lim_{x\to\infty}N^{-x}=\lim_{x\to\infty}1/N^{x}=0 \mbox{ for any } N > 1</math>
<math>\lim_{x\to\infty}\sqrt[x]{N}=\begin{cases} 1, & N > 0 \\ 0, & N = 0 \\ \mbox{does not exist}, & N < 0 \end{cases}</math>
<math>\lim_{x\to\infty}\sqrt[N]{x}=\infty \mbox{ for any positive integer } N</math>
<math>\lim_{x\to\infty}\log x=\infty</math>
<math>\lim_{x\to+0}\log x=-\infty</math>
備考
上記に使われた用語の和訳を以下に示す。
- positive - 正の
- integer - 整数
- even - 偶数の
- odd - 奇数の
- any - 任意の
- real - 実数の
- does not exist - 存在せず
