圏 (数学)

数学における圏（けん、category）とは数学的構造とその変形を取り扱うための枠組みであり、数学的対象をあらわす対象とそれらの間の関係を表す射の集まりによって与えられる。

圏、対象、射

圏 (category) C は、対象 (object) の類 ob (C) および射 (morphism) の類 hom (C) をあたえることによって指定される。各射 f は、定義域（もしくは始域、ソース）対象 a および余定義域（もしくは値域、終域、ターゲット）対象 b をそれぞれ 1 つずつ持つ。ここで f : a → b と書いて「f は a から b への射である」と読み、a から b への射の集まり hom (a, b) は hom 集合とよばれる。これら射について、

射の合成ができるものとする。つまり、f の定義域と g の余定義域が同じときに、g の定義域から f の余定義域への射 fg を考えることができる。集合間の写像の合成との完全なアナロジーで射の合成について結合性が成立し、また各対象は集合の恒等写像に対応する恒等射をもつ。

ということが公理として要請される。圏 C についてその射（と射の合成可能性）だけでも全部わかっていれば、そのうちで恒等射になっているものが対象を示しているので、著者によっては上の公理を満たす射の集まりをもって圏と定義することもある。

C に対して C に含まれる射 f : x → y を全て f : y → x に変えて得られる圏 C^op を C の逆圏 (opposite category) または双対圏 (dual category) という。

圏の例

Set または Sets

集合を対象とし、集合間の写像を射とする。

Grp または Gr

群を対象とし、群の準同型を射とする。

SemiGrp

半群を対象とし、半群の準同型を射とする。

Ring または Rng

環を対象とし、環の準同型を射とする。

Top⁺

点付き位相空間を対象とし、基点を保つ連続写像を射とする。

Etale_K

体上のエタール代数を対象とし、K-代数としての準同型を射とする。

Rep_K(G)

群 G の、体 K 上の線形表現を対象とし、インタートワイナーを射とする。

Vec_K または Vct_K

体 K 上のベクトル空間を対象とし、K-線形写像を射とする。

前順序集合

反射律と推移律をみたす二項関係 R が定められた集合 S を前順序集合という。S の各元を対象とし、aRb のときに a から b への射が存在すると考えれば、S は圏になる。

コボルディズム

n 次元多様体を対象とし、2 つの n 次元多様体 M₁, M₂ に対してその非交和を境界とする n + 1 次元多様体を射とする。特に n = 0 のときはタングルとして研究されている。

関手

2 つの圏 C, D があったとき、

• C の対象 x に対し D の対象 F(x) を与える
• 射 f : x → y に対し射 F(f) : F(x) → F(y) を与える

という対応 F で射の合成や恒等射を保つものは（共変 (covariant)）関手 F とよばれる。一方、似たような対応で射の定義域と余定義域とを入れ替え、合成の順番を反対にする対応は C から D への反変関手 (contravariant functor) とよばれる。C から D への反変関手を考えるということは C の逆圏 C^op から D への共変関手を考えるということと同じになる。

自然変換 (natural transformation) は 2 つの関手間の関係である。関手はしばしば「自然な構成」を記述し、そして自然変換はそのような 2 つの構成の間の「自然な準同型」を記述する。時に 2 つの全く違う構成が「同様の」結果をもたらすことがある。これは、2 つの関手間の自然同型 (natural isomorphism) にて表現される。 2 つの関手 F, G に対し、F から G への自然変換が存在して η_x が C に含まれる全ての対象 x に対して同型射となるとき、この自然変換は自然同型 (naturally isomorphic) であるという。

高次圏

圏が与えられているとき、そこからより複雑な高次圏を考えることができる。簡潔には、2 つの対象の間の射を「一方の対象からもう一方への対応関係」とみなすならば、これを高次圏において「高次の対応関係」を考慮することで、より有益な一般化が可能となる。

例えば、2-圏（bicategory もしくは 2-category、2 次圏）は「射の間の射」、つまり、ある射を別の射に変換する対応関係によって得られる圏である。これらの「2-射」(2-cell) は水平・垂直に「合成」することができ、かかる 2 つの合成則においては 2 次元の「交換則」(exchange law) が成り立つ。この最も標準的な例は Cat、つまり全ての（小さな）圏から成る 2-圏であり、この例において、射には関手が、2-射には、関手の自然変換が当てはまる。もう 1 つの基本的な例としては、対象 1 つから成る 2-圏である—これは(狭義)モノイダル圏である。

この手法を任意の自然数 n で拡張し、n-圏（n-category、n 次圏）を定義することができる。さらに順序数 ω に対する ω-category と呼ばれる高次圏もある。このアイデアに関する堅苦しくない入門文献としてJohn Baez: The Tale of n-categoriesが挙げられる。

空間を圏で表す

(O, ≤) が順序集合のとき、これを次のような圏 C_O と同一視することができる：ob (C_O) = O とし、p, q ∈ O = ob (C_O) について p ≤ q のとき、およびそのときに限り p から q への射がただ 1 つ存在する、として C_O における射を定める。ここで順序関係の推移律が射の合成に、反射律が恒等射に対応している。特に位相空間 X に対してその開集合系 O(X) を圏と見なすことができる。

G が群のとき、対象 Y ただ 1 つからなり、hom (Y, Y) ≡ G であるような圏を G と同一視することができる。また、位相空間の基本亜群や「被覆」のホロノミー亜群など、様々な亜群による幾何学的な情報の定式化が得られている。

これらは様々な種類の数学的対象を圏によって言い換えていることになる。層やトポスの概念によってこれらを共通の文脈の中におくことが可能になる。

歴史

1945年のサミュエル・アイレンベルグとソーンダース・マックレーンによる、代数的位相幾何学において直感的／組み合わせ的に定義されていたホモロジー・コホモロジーを公理化する研究の中で圏、関手および自然変換が実際に定義された。アイレンベルグとマックレーンの目的は、位相空間の理論と可換群の理論のような異なる数学的体系の間の自然変換を理解することだったが、そのためには関手の概念が必要であり、関手を定義するためには圏の概念が必要だったのである。

その後アレクサンドル・グロタンディークらによるホモロジー・コホモロジー理論を圏論に基づいて定式化する試みの中で、アーベル圏・三角圏など、関手を計算するうえで期待される重要な性質を持つクラスの圏が公理化されていった。一方、ガロア理論の圏論化を通じ、群が作用する集合の圏と通常の位相空間を圏論の枠組みで包括的にとらえるようなトポスの概念が得られた。