メネラウスの定理
メネラウスの定理（めねらうすのていり、テンプレート:Lang-en-short）とは、幾何学の定理の1つである。アレクサンドリアのメネラウスにちなんで名付けられた。
定理
任意の直線lと三角形ABCにおいて、直線lとBC、CA、ABの交点をそれぞれD、E、Fとする。この時、次の等式が成立する。
- <math>{AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} = 1</math>
なお、直線lは、三角形と共有点を持っても持たなくても良い。AからBに行くときにFを通り、BからCに行くときにDを通り、CからAに行くときにEを通る。つまり、A、ABとlの交点、B、BCとlの交点、C、CAとlの交点という順番でたどり、通る辺を順番に分数にすればよい。
証明の方針
証明法はさまざまあるが、ここでは代表的な方針を述べる。
証明1
ABに並行にCから伸ばした線とDEFとの交点をKとする。相似から
- <math>\left|\frac{BD}{DC}\right| = \left|\frac{BF}{CK}\right|,\quad\left|\frac{AE}{EC}\right| = \left|\frac{AF}{CK}\right|</math>
が成り立つ。これらの式を組み合わせれば定理が導かれる。
証明2
ΔABCの各頂点から直線lに垂線をおろす。すると、3組の相似な直角三角形が現れるので、その相似比を考えればよい。
証明3
直線ADと直線BEの交点をGとすると
- <math>
{AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} \cdot \vartriangle AED = {AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot \vartriangle CED ={AF \over FB} \cdot \vartriangle BDE = \vartriangle AED </math>
△AED≠0より
- <math>
{AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} = 1 </math>
逆
メネラウスの定理は逆も成り立つ。すなわち、任意の三角形ABCに対して、直線AB、BC、CA上に点D、E、Fをとり、D、E、Fのうち三角形ABCの辺上にある点が0個あるいは2個の時、
- <math>{AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} = 1</math>
が成り立つならば、3点D、E、Fは、1直線上にある。
