ベクトル場
ベクトル場（ベクトルば、vector field）とは、数学において、幾何学的な空間の広がりの中でベクトル的な量の分布を表すものである。単純化された設定のもとではベクトル場はユークリッド空間Rn（またはその開集合）からベクトル空間Rnへの関数として与えられる。（局所的な）座標系のもとでベクトル場を表示するときは座標に対してベクトルを与えるような関数を考えることになるが、座標系を変更したときにこの関数は一定の規則に従って変換を受けることが要請される。
ベクトル場の概念は物理学や工学においても積極的にもちいられ、例えば動いている流体の早さと向きや、磁力や重力などの力の強さと向きなどが空間的に分布している状況を表すために用いられている。
現代数学では多様体論にもとづき、多様体上の接ベクトル束の切断として（接）ベクトル場が定義される。
定義
Mをn次元の多様体（あるいは、同値なことだが、ユークリッド空間Rmの部分集合で局所的には自由度nの座標が入るようなもの）とするとき、M上のベクトル場Xは写像V: M → Rmで次の条件を満たすものとして定義される。 テンプレート:Indent したがって、ベクトル場Vからは座標系実ごとにn変数のベクトル置換数による表示が得られることになるが、座標系が交わるところでは上に挙げた条件によって関数たちが張り合わされ、幾何学的に内在的なものがえられている。
現代数学ではこの定義がさらに抽象化され多様体Mの上で各点に対する接ベクトルの分布を与えるものとして理解される。Mの点pにおける接ベクトル v を考えることと、pのまわりで定義された微分可能関数にたいしてpにおいてvの方向への微分を与える作用素<math>\partial_v</math>を考えることは同じことになる。したがってpにおける微分写像のなす空間TpM（この概念はoのまわりの座標の取り方によらない）がpにおける接ベクトルの空間を与えていると見なせ、ベクトル場は接ベクトルの分布をあらわす写像<math>X:M \rightarrow TM = \cup_{p \in M}T_pM, X(p) \in T_pM</math>によって与えられていると考えることができる。
ベクトル場に対する操作
ベクトルについての加法や減法、定数倍などの操作を各点ごとに考えることでこれらの操作がベクトル場についても定義される。特に、連続関数fとベクトル場Xについて各点ごとの積fXを考えることができる。
多様体Mにリーマン計量 g が与えられているとする。fがM上の微分可能関数のとき、<math>g(Y, grad f) = Y(f)</math>で特徴づけられるようなベクトル場grad fを考えることができるが、これは（gに関する）勾配 grad fとよばれる。
R3上のベクトル場X = (X1, X1, X1): R3 → R3に対してその発散 テンプレート:Indent や回転 テンプレート:Indent が定義される。多様体論の枠組みでは、これらはR3上の接ベクトル場に対する操作というよりも、2次微分形式や1次微分形式に対する外微分として自然に理解される。
ベクトル場の決定
R3上のベクトル場は、その発散と回転によって定まる。 すなわち、ベクトル場 V と W について テンプレート:Indent がなりたっていればV と W は一致している。
ヘルムホルツの定理
テンプレート:Main 全てのベクトル場 V は、スカラーポテンシャル φ 、ベクトルポテンシャル A を用いて、 テンプレート:Indent と表せる。
流れ
多様体 M 上のベクトル場 X があたえられたとき、各点での速度が X によって表されるような M 上の流れ (flow) を考えることができる。通常は技術的な仮定として、X がコンパクトな台を持つことが要請される。そのときMの任意の任意の点 p について初期値付きの微分方程式 テンプレート:Indent は一意に定まる解を持ち、任意のtについて写像φt: p → φt(p)はM上の微分同相を定めている。実数の加法群RからMの微分同相群Diff(M)への写像φ: t → φtは群の準同型になり、X の流れとよばれる。この流れ φ はXによって速度を指定されたM上の力学系を表している。
物理学におけるベクトル場の例
電磁気力や重力といった力を及ぼす空間を場（工学では「界」）といい、以下の例がある。
