ブラック-ショールズ方程式

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テンプレート:独自研究テンプレート:出典の明記 ブラック-ショールズ方程式（ブラック-ショールズほうていしき）とは金融派生商品の価格づけに現れる確率微分方程式（およびその境界値問題）のことである。

ブラック-ショールズモデルは1973年にフィッシャー・ブラック (Fischer Black) とマイロン・ショールズ (Myron Scholes) が共同で発表した理論であり、このモデルを使って当時の懸案であったヨーロピアン・コール（およびプット）オプション（満期日にのみ権利を行使できるオプション）のオプション・プレミアムを計算してみせた。後にロバート・マートンが彼らの方法に厳密な証明を与えた。これらの理論は現代金融工学の先がけとなったとも言われる。

ブラック-ショールズ方程式はヨーロピアンオプションのオプション・プレミアムの計算には使用できるがアメリカンオプションには使用できない。アメリカンオプションとは、購入日から満期日までのいつでも権利行使することのできるオプションのことである。満期日のみ行使可能なヨーロピアンオプションに比べて、アメリカンオプションは権利行使日が不確定なため、価格付けが難しく[1]、その分アメリカンオプションのプレミアムは割高になっている。良い計算方法が理論化できておらず格子モデルや Brennan-Schwartz アルゴリズムなどがよく用いられている。

ブラック-ショールズモデル

ブラック-ショールズモデルとは、1種類の配当のない株と1種類の債券の2つが存在する証券市場のモデルで、時刻 t における株価 St と債券価格 Bt が

  • <math>d\log S_t = \sigma dW_t + \mu dt</math>
  • <math>B_t = \exp(rt)</math>

を満たすものをいう。ここに、Wt は標準ウィーナー過程 、r, σ, μ は定数で、r は無リスク利子率、σ をボラティリティ、μ をドリフトという。 ボラティリティは株価の変動の激しさを表し、ドリフトは株価の平均増加率を表すと解釈できる。

ここで、0 ≤ t ≤ T で発展的可測な適合過程の組 (at(ω), bt(ω)) を取る。at は t 時点で状態が ω の場合の株式の保有量、bt(ω) は同債券の保有量である。このような組 (a, b) を、株式と債券の取引戦略という。区間 [0, T] における取引戦略 (a, b) が自己資本充足的であるとは、0 ≤ t ≤ T の各時点 t に対し、

<math>a_t + b_t = a_0 + b_0 + \int_0^t a_s dS_s + \int_0^t b_s dB_s</math>

が満たされることである。

ブラック-ショールズ方程式

ブラック-ショールズ方程式の導出

ブラック-ショールズモデルの下で、満期 T において行使価格が K であるヨーロッパピアン・コールのオプションプレミアム C = C(St, t) が無裁定となるように適正な価格となる条件を求める。区間 [0, T] で自己資本充足的な取引戦略 (a, b) を、各 t 時点で

<math>C = a_t S_t + b_t B_t</math>

となるように定める。これを複製ポートフォリオ (replicating portfolio) という。上式右辺の自己充足性により、

<math>dC = a_t dS_t + b_t dB_t = (\mu a_t S_t + r b_t B_t)dt + \sigma a_t S_t dW_t</math>

である。他方、伊藤の公式により

<math>\begin{align} d C
&= \frac{\partial C}{\partial t}dt + \frac{\partial C}{\partial S_t} dS_t 
   + \frac{\sigma^2}{2} S_t^2\frac{\partial^2 C}{\partial S_t^2}dt\\
&= \left(\frac{\partial C}{\partial t} + \mu S_t \frac{\partial C}{\partial S_t} 
   + \frac{\sigma^2}{2}S_t^2 \frac{\partial^2 C} {\partial S_t^2} \right)\! dt 
   + \sigma S_t \frac{\partial C}{\partial S_t} dW_t

\end{align}</math>

となるから

<math>a_t = \frac{\partial C}{\partial S_t},</math>
<math>\mu a_t S_t + r b_t B_t = \frac{\partial C}{\partial t} + \mu S_t \frac{\partial C}{\partial S_t} + \frac{\sigma^2}{2}S_t^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S_t^2}</math>

が得られる。複製ポートフォリオから at, bt を消去することにより、ブラック-ショールズ方程式

<math>r C = \frac{\,\partial C\,}{\partial t} + \frac{1}{2}\! \left( \sigma^2 S_t^2 \frac{\,\partial^2 C\,}{\partial S_t^2} \right) + r S_t\frac{\partial C}{\,\partial S_t\,}</math>

が得られる。ここで、境界条件は

  • C(0, t) = 0 (t(≤ T) は任意)
  • C(St, t) ∼ St as St → ∞ (t(≤ T) は任意)
  • C(St, T) = max{S − K, 0}

である。

ブラック-ショールズ方程式の解

同方程式は、確率微分方程式、すなわち確率積分に関する方程式だが、これを偏微分方程式とみなして解が存在すれば、それは当然同方程式の解である。同方程式において、

<math>\begin{align} 
& C(S_t, t) = e^{r(t - T)}u(S_t, t), \\
& z = \frac{\log(\frac{S_t}{K}) + (r - \frac{\sigma^2}{2})(T - t)}{\sigma}, \\
& s = T - t

\end{align}</math>

と変数変換すると、

<math>\frac{\partial u}{\partial s} = \frac{1}{2}\cdot\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}</math>

という1次元熱伝導方程式（拡散方程式）の初期値問題となる。この方程式を解き元の変数に戻すと、ブラック-ショールズ方程式の解は

<math>C(S_t, t) = S_t N(d_1) - Ke^{-r(T-t)} N(d_2)</math>

で与えられることがわかる。ただし、

  • <math>N(x) =\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{y^2}{2}}dy,</math>
  • <math>d_1 = \frac{\log(\frac{S_t}{K}) + (r+\frac{\sigma^2}{2})(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}},</math>
  • <math>d_2 = \frac{\log(\frac{S_t}{K}) + (r-\frac{\sigma^2}{2})(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}</math>

である。

これが「適正価格」と呼ばれる背景としては、上述のとおり株と債券を使ってヨーロピアン・コールオプションを複製することができるという事実から来ている。このように、無裁定価格理論においては、ある金融商品の価格はそれを複製するのに必要な元手である、と考えることが多い。

実務への応用

米系投資銀行ソロモンブラザーズ（現シティグループ）は、1980年代には既にこのモデルを実際の金融商品のプライシングに応用していたと言われているテンプレート:要出典。オプションの理論価格算定方式が数学上非常に明晰な形で提供されたことはSPAN証拠金（1988年にシカゴ・マーカンタイル取引所が開発したリスクベースの証拠金計算方法、Standard Portfolio Analysis of Risk）算定方法に決定的な示唆を与えている。

投資戦略としてはオプション価格の理論値が得られることから、適正プレミアムの獲得や現実の取引価格との乖離が裁定取引上の利益目標となり得ると想定されたが、実際にはテイルリスクに対する脆弱性などが指摘されており、LTCM破綻という現実の失敗によりその投資戦略上の権威は大きく毀損されてしまった。投資中に発生するイベントの定性情報を無視したポートフォリオ戦略（将来何が起きるかは知りえないことを前提とした投資戦略）としては依然として強力であり、それまでアナロジーやアフォリズム、アノマリーやテクニカル分析などといった従来の「投資の慣行」を超え、確率論からの記述が与えられた貢献は大きい。

批判

この方程式は、価格の変化率の分布が正規分布に従うという仮定を置いているが、現実の金融商品ではこれが成立していないため、この方程式は現実世界では成立しないという批判がある。例えば、価格変化率の確率過程のマルチンゲール性によっては伊藤の公式は成り立たないので適用できず、伊藤の公式を利用するブラックショールズの解は現実世界から乖離する可能性がある。また、現実に成立した市場価格のみを参照情報としているため、いわゆるパッシブ投資法であり、現実の企業活動への評価や予想を織り込んだ長期運用、あるいは市場参加者（投資家）の心理や損益状況、特定投資家が特別な状況に追い込まれていることを逆手にとったアクティブ投資戦略にとっては、ブラックショールズ型投資戦略はその投資戦略があからさまに読み取れることから、格好の攻撃対象になる可能性がある。この場合、市場価格は確率的に変動するのではなく誰かが破綻・破産することを収益機会とするゲームが成立してしまうため、市場参加者に無意識での協働が成立する。

実際、この方程式を作った、マイロン・ショールズらが参加したLTCMでは、実際はそれほど希ではないが、正規分布という誤った仮定においては希であるロシア財政危機という歴史上のイベントに遭遇し、4年で破綻した。

参照

  1. ↑ 『ファイナンス～PVとオプション～』 S.M.ロス著　西村優子、高見茂雄、西村陽一郎 訳

関連項目

テンプレート:金融派生商品

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