オイラーの公式
数学、特に複素解析におけるオイラーの公式（オイラーのこうしき、Euler's formula、オイラーの恒等式とも）とは、指数関数と三角関数の間に成り立つ等式
- <math>e^{i\theta} =\cos\theta +i\sin\theta</math>
をいう。ここに、θ は幾何学的には弧度法に従う角と見なされる実変数である。三角関数を複素変数に関する解析的関数と考えることで、この等式は θ を複素変数と見ても成立している。レオンハルト・オイラーに帰せられるためこの名がある。この公式は初め、ロジャー・コーツ によって1714年に提出されたが、その証明は曖昧なものだった。その後オイラーによって1748年に再発見され、有名になった。
この公式は複素解析をはじめとする純粋数学の様々な分野や、電気工学・物理学などで現れる微分方程式の解析において重要な役割を演じる。物理学者のリチャード・ファインマンはこの公式を評して「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」 [1][2]だと述べている。
また、θ = テンプレート:Π のとき、オイラーの等式と呼ばれる
- <math>e^{i\pi}+1=0</math>
が導かれる。
目次
[非表示]指数関数と三角関数
実関数として定義される指数関数 ex および三角関数 cos x, sin x をそれぞれマクローリン展開すれば、
- <math>e^x =\sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{n!} x^{n},</math>
- <math>\cos x=\sum^{\infin}_{n=0} (-1)^n \frac{1}{(2n)!} x^{2n},</math>
- <math>\sin x=\sum^{\infin}_{n=0} (-1)^n \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}</math>
なる冪級数としての表示を得る。これらの式の右辺に現れる級数は、x がガウス平面上を動く複素変数と見た場合にも任意の x の近傍で広義一様に絶対収束する。これら級数の収束性と正則関数に関する一致の定理により、正則関数としての拡張は全平面でこの収束冪級数によって確定されるため、複素関数としての指数関数・三角関数は通常、この級数展開式を以って定義される。ここで ex に ix を代入すれば、絶対収束性によって和の順序交換が正当化され
- <math>e^{ix} = \sum^{\infin}_{n=0} i^n \frac{1}{n!} x^n =\sum^{\infin}_{n=0} (-1)^n \frac{1}{(2n)!} x^{2n} +i\sum^{\infin}_{n=0} (-1)^n \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}</math>
なる式が意味を持つ。右辺の初項は cos x のマクローリン展開に、次項は sin x のマクローリン展開に i を乗じたものに他ならず、したがって等式 eix = cos x + i sin x が得られるのである。この公式は、全く起源の異なる指数関数と三角関数が複素数の世界では密接に結びついていることを示していると見ることができる。たとえば三角関数の加法定理は、指数法則 eaeb = ea+b に対応していることが分かる。さらに
- <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},</math>
- <math>\sin z =\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math>
と置き換えることで、初等関数は全て指数関数の一部であると見なすこともできる。
証明
上記のマクローリン展開を用いたもののほかに関数の微分を用いた証明もできる。 x を実数として、x の関数 f(x) を
- <math>f(x)=(\cos x-i\sin x)\cdot e^{ix}</math>
と定義する。f(x) を微分すると以下のようになる。
- <math>
\begin{align} f'(x)&=(\cos x-i\sin x)'\cdot e^{ix} +(\cos x-i\sin x)\cdot (e^{ix})' \\
&=(-\sin x-i\cos x)\cdot e^{ix} +(\cos x-i\sin x)\cdot i e^{ix} \\
&=(-\sin x-i\cos x)\cdot e^{ix} +(i\cos x-i^2 \sin x)\cdot e^{ix} \\
&=(-\sin x-i\cos x+i\cos x+\sin x)\cdot e^{ix} \\
&=0
\end{align}</math> したがって、全ての実数 x について f' (x) = 0 が成り立つ。これは f(x) が定数関数であることと同値である。よって f(x) = f(0) なので
- <math>f(x)=(\cos 0-i\sin 0)\cdot e^{i\cdot 0}=1</math>
となる。これを f(x) の定義式に代入すると次のようになる。
- <math>(\cos x-i\sin x)\cdot e^{ix} =1</math>
ここで両辺に <math>\cos x+i\sin x</math> を掛けて整理すると公式が証明できる。
- <math>(\cos x+i\sin x)(\cos x-i\sin x)\cdot e^{ix} =\cos x+i\sin x</math>
- <math>(\cos^2 x-i^2 \sin^2 x)\cdot e^{ix} =\cos x+i\sin x</math>
- <math>e^{ix} =\cos x+i\sin x</math>
このほかにも微分方程式を用いた証明などが知られている。
