ブール代数
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ブール代数（ブールだいすう、boolean algebra）またはブール束（ブールそく、boolean lattice）とは、ジョージ・ブールが19世紀中頃に考案した代数系の一つである。ブール代数の研究は束の理論が築かれるひとつの契機ともなった。
論理回路の設計には必須の知識である。組み合わせ回路（論理回路#組み合わせ回路）はブール代数の式で表現できる。
定義
ブール代数（ブール束）とは束論における可補分配束（complemented distributive lattice）のことである。
集合 L と L 上の二項演算 ∨（結び（join）と呼ぶ），∧（交わり（meet）と呼ぶ）の組 ＜L;∨,∧＞ が以下を満たすとき分配束（distributive lattice）と呼ぶ。
- 冪等則：x ∧ x = x ∨ x = x 、
- 交換則：x ∧ y = y ∧ x 、x ∨ y = y ∨ x 、
- 結合則：(x ∧ y)∧ z = x ∧(y ∧ z) 、(x ∨ y)∨ z = x ∨(y ∨ z) 、
- 吸収則：(x ∧ y)∨ x =x 、(x ∨ y)∧ x = x 、
- 分配則：(x ∨ y)∧ z = (x ∧ z)∨(y ∧ z) 、(x ∧ y)∨ z = (x ∨ z)∧(y ∨ z) 、
さらにL の特別な元 0 ，1 と単項演算 ¬ について、以下が成り立つとき ＜L;∨∧,¬＞ を可補分配束（ブール束）と呼ぶ。
- 補元則： x ∨ ¬x = 1， x ∧ ¬ x = 0。
典型的な例は、台集合として特別な２つの元 0 , 1 のみの２点集合 {0, 1} からなるものであり、コンピュータの動作原理の理論としても知られている。 この代数の上では排他的論理和 (xor) や否定論理積(nand)など応用上重要な演算子が ∧、 ∨、 ¬ の組み合わせで記述される(∧ または ∨ も ¬ と残りの1つの組み合わせで記述される。)。
関連項目
参考文献
外部リンク
en:Boolean algebra (structure) fr:Algèbre de Boole (structure) he:אלגברה בוליאנית (מבנה אלגברי) ko:불 대수 zh:布尔代数
