グラム・シュミットの正規直交化法

グラム・シュミットの正規直交化法（グラム・シュミットのせいきちょっこうかほう、テンプレート:Lang-en-short）とは、内積を持つベクトル空間（計量ベクトル空間）に、ある線型独立なベクトルの組が与えられたとき、そこから正規直交系（それぞれのベクトルのノルムが 1 で、どの二つも互いに直交しているようなベクトルの組）を作り出すアルゴリズムのことである。シュミットの直交化（ちょっこうか、orthogonalization）ともいう。正規化する（ノルムを 1 にする）工程を省略すると、必ずしも正規でない直交系を得ることができる。

定義

計量ベクトル空間を V で表し、ベクトル v, w の内積を (v,w) と表すことにする。与えられたベクトルの線型独立系を {v₀, v₁, v₂, ..., v_n}とする。 まず、ベクトル v₀ を選びだしてそのノルムで割る。すなわち、w₀ = (v₀, v₀)^-1/2v₀ とする。以下、

<math>

\begin{matrix} w'_1= &v_1-(w_0,v_1)w_0, &w_1=(w'_1,w'_1)^{-\frac{1}{2}}w'_1,\\ w'_2= &v_2-(w_0,v_2)w_0-(w_1,v_2)w_1, &w_2=(w'_2,w'_2)^{-\frac{1}{2}}w'_2,\\ \quad\ \vdots & &\vdots \qquad\ \qquad\ \\ w'_n= &v_n-\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}(w_i,v_n)w_i, &w_n=(w'_n,w'_n)^{-\frac{1}{2}}w'_n \end{matrix} </math>

によって順に新しいベクトルを作っていくと、{w₀, w₁, w₂, ..., w_n} は新しい線型独立系になる。構成から、正規であり、互いに直交していることは容易に分かる。

関連項目

• 直交 - 直交化
• 正規直交系