計量ベクトル空間

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内積を用いたベクトルの成す角の定義の幾何学的解釈

線型代数学における計量ベクトル空間(けいりょうベクトルくうかん、テンプレート:Lang-en-short)は、内積と呼ばれる付加的な構造を備えたベクトル空間であり、内積空間(ないせきくうかん、テンプレート:Lang-en-short)とも呼ばれる。この付加構造は、空間内の任意の二つのベクトルに対してベクトルの内積と呼ばれるスカラーを対応付ける。内積によって、ベクトルの長さや二つのベクトルの間の角度などの直観的な幾何学的概念に対する厳密な導入が可能になる。また内積が零になることを以ってベクトルの間の直交性に意味を持たせることもできる。内積空間は、内積として点乗積(スカラー積)を備えたユークリッド空間を任意の次元(無限次元でもよい)のベクトル空間に対して一般化するもので、特に無限次元のものは函数解析学において研究される。

内積はそれに付随するノルムを自然に導き、内積空間はノルム空間の構造を持つ。内積に付随するノルムの定める距離に関して完備となる空間はヒルベルト空間と呼ばれ、必ずしも完備でない内積空間は(内積の導くノルムに関する完備化がヒルベルト空間となるから)前ヒルベルト空間 (pre-Hilbert space) と呼ばれる。複素数体上の内積空間はしばしばユニタリ空間 (unitary spaces) とも呼ばれる。

定義

テンプレート:Main 本項ではスカラー テンプレート:Math実数テンプレート:Math または複素数テンプレート:Math の何れかを意味するものとする。

厳密に言えば、内積空間とは体 テンプレート:Math 上のベクトル空間 テンプレート:Math であって、内積と呼ばれる写像

<math> \langle \cdot, \cdot \rangle \colon V \times V \to F </math>

で以下の公理を満足するものを備えたものを言う[1][2]

  • 共軛対称性: <math>\langle x,y\rangle =\overline{\langle y,x\rangle}.</math>
  • 第一引数に対する線型性: <math>\langle ax+y,z\rangle= a\langle x,z\rangle+ \langle y,z\rangle.</math>
  • 正定値性: <math>\langle x,x\rangle \geq 0,\quad [\langle x,x\rangle = 0 \implies x = 0]</math>

テンプレート:Math のときは共軛対称性(エルミート対称性)は単に対称性に帰着される。

注意

上記内積の定義において、テンプレート:仮リンクを実数体 テンプレート:Math および複素数体 テンプレート:Math に制限する必要があることにはいくつか理由がある。簡潔に述べれば、半正定値性が意味を持つために係数体は(内積の値域となる)適当な順序体を含む必要がある(従って、任意の順序体がそうであるように標数テンプレート:Math でなければならない)ことである(ここから直ちに有限体は除外される)。また、係数体は区別された自己同型 (distinguished automorphism) のような付加構造を持たなければならない。そういう意味では、より一般に テンプレート:Math または テンプレート:Math の二次閉部分体(任意の元が平方根を持つ体、例えば全代数的数体)を考えれば十分だが、(テンプレート:Math でも テンプレート:Math でもない)真の部分体を取ってしまうと、有限次元の内積空間でさえ完備距離空間にならない。これと対照的に、テンプレート:Math または テンプレート:Math 上の有限次元内積空間は自動的に完備となり、従ってヒルベルト空間になる。

 \langle (x_1,\cdots, x_n),(y_1,\cdots, y_n)\rangle := x^{\top} y = \sum_{i=1}^n x_i y_i = x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n
</math>
を入れたものは内積空間になる(テンプレート:Mathテンプレート:Math転置)。これは テンプレート:Math-次元ユークリッド空間である。
 \langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle := \mathbf{y}^\dagger\mathbf{M}\mathbf{x} = \overline{\mathbf{x}^\dagger\mathbf{M}\mathbf{y}}
</math>
の形で与えられ(テンプレート:Mathテンプレート:Math随伴行列)、エルミート形式と呼ばれる。実係数の場合は、(正のスケール因子と拡大方向に直交する方向を持つ)二つのベクトルをそれぞれ異なる方向に拡大変換したものを点乗積することに相当する。これは直交変換の違いを除けば、正の重みをもつ点乗積のテンプレート:仮リンク版である。
 \langle f, g \rangle := \int_a^b f(t) \overline{g(t)} \, dt
</math>