伝達関数法

テンプレート:出典の明記 伝達関数法（でんたつかんすうほう）とは、複素関数論（ラプラス変換など）を用いた制御系の解析法である。

伝達関数

伝達関数 (transfer function) とはシステムへの入力を出力に変換する関数のことをいう。伝達関数は、すべての初期値を 0 とおいたときの、制御系の出力と入力のラプラス変換（または Z 変換）の比で表される。すなわち、連続システムのとき、出力信号 y(t) のラプラス変換を Y(s)、入力信号 x(t) のラプラス変換を X(s) とすれば、伝達関数 G(s) は

と表される。

離散システムに対して、伝達関数は Z 変換によって、

と表される。

この伝達関数法では、時間領域の関数を、ラプラス変換（または Z 変換）によって複素平面に写像を取り、さらに周波数領域に変換することにより、系の特性や安定性を解析するのに用いる。ただし、対象となる系が 1 入力 1 出力（線形関数）に限られているため、複雑な系（多入力多出力、非線形）の解析には状態空間法を用いる。しかしながら、この伝達関数法は、今日の制御理論においても基礎となる重要な理論である。

周波数伝達関数

s を jω とすると、周波数伝達関数 (frequency transfer function) は G(jω) と表される。 周波数伝達関数は複素数であるため、次のように表される。

この式の特性を見るためにナイキスト線図、ボード線図、ニコルス線図がある。

周波数伝達関数の絶対値 |G(jω)| を利得といい、偏角 <math>\angle G(j\omega)</math> を位相（位相角）という。

各種要素の伝達関数

積分要素

<math>G(s)=\frac{k}{s}</math>

1次遅れ要素

<math>G(s)=\frac{K}{Ts+1}</math>

微分要素

<math>G(s)=Ts</math>

むだ時間要素

<math>G(s)=e^{-s\tau}</math> (通信遅延等)(解析が困難)

2次遅れ要素

<math>G(s)=\frac{K}{(T_1 s+1)(T_2 s+1)}</math>

<math>G(s)=\frac{K}{s^2+2\zeta \omega_n s+\omega_n{}^2}\quad (\zeta<1)</math>

<math>G(s)=\frac{K}{s(Ts+1)}</math>

関連項目

• LTIシステム理論