勾配 (ベクトル解析)

ファイル:Gradient2.svg

二つの図で、白と黒で表されるスカラー場は黒の方が値が高く、対応する勾配は青矢印で表されている。

ベクトル解析におけるスカラー場の勾配（こうばい、テンプレート:Lang-en-short; グラディエント）は、各点においてそのスカラー場の変化率が最大となる方向への変化率の値を大きさにもつベクトルを対応させるベクトル場である。簡単に言えば、任意の量の空間における変位を、傾きとして表現（例えば図示）することができるが、そこで勾配はこの傾きの向きや傾きのきつさを表している。

ユークリッド空間上の函数の勾配を、別なユークリッド空間に値を持つ写像に対して一般化したものは、ヤコビ行列で与えられる。さらに一般化して、バナッハ空間から別のバナッハ空間への写像の勾配をフレシェ微分を通じて定義することができる。

解釈

ファイル:Gradient of a Function.tif

二変数函数 <math>f(x,y)= xe^{-x^2 - y^2} </math> の勾配を擬色描画された函数の上の青矢印として描画したもの

一つの部屋を、その部屋の温度を与えるスカラー場 T と考えれば、各点 (x,y,z) における温度を T(x,y,z) と書くことができる（ここでは温度は時間変化を起こさないものと仮定する）。部屋の各点において、T の勾配は最も早く温度が上昇する方向を指し、その大きさはその方向でどれほど早く温度が上昇するかを示している。

点 (x, y) における海抜が H(x, y) であるような曲面を考える。ある点における H の勾配は、その点においてもっとも傾き（縦断勾配）が急峻であるような方向を指すベクトルで、その大きさはその点でのもっとも急峻な傾きの値によって与えられる。

勾配からは、内積を取ることにより、最も変化の大きい方向以外の方向でも、そのスカラー場がどれほど変化するかを知ることができる。 丘陵のもっとも急峻な傾きが 40% とすると、その丘陵を真っ直ぐ上る道の最も急峻な傾きも 40% となるが、代わりに適当な角度をつけて丘陵をぐるりと回る道を行けば、傾きはもっと緩やかになるはずである。 例えば、道と真っ直ぐ坂を上がる方向との間の角度が、水平面に投影して 60°になっていれば、その道の最も急峻な傾きは 20%（40% に 60°の余弦を掛けたもの）になるはずである。

この考察を数学的に述べると以下のようになる。丘陵の高さを表す函数 H が微分可能であるものとすれば、H の勾配に単位ベクトルとの内積をとれば、そのベクトルの方向への丘陵の傾きが得られる。もう少し形式的に書くと、H が可微分であるとき、H の勾配と与えられた単位ベクトルとの内積は、その単位ベクトルの方向への H の方向微分に等しい。

定義

ファイル:Gradient99.png

函数 テンプレート:Nowrap の勾配を、底面に射影したベクトル場として描いたもの

スカラー函数 f (x₁, x₂, x₃, …, x_n) の勾配（勾配ベクトル場）は、ベクトル微分作用素 ∇（ナブラ記号）を用いて、<math>\nabla f</math> あるいは <math>\vec{\nabla} f</math> と書かれる。勾配を <math>\mathrm{grad}\, f</math> と書くことも広く行われている。

f の勾配 ∇f とは、各点 x において任意の空間ベクトル v との点乗積が f の v に沿う方向微分に一致するベクトル場として一意的に定義される。式で書けば、勾配は

<math>(\nabla f(x))\cdot \mathbf{v} = D_{\mathbf v}f(x)</math>

で決定されるということである。直交座標系において、勾配は成分が f の偏微分で与えられるベクトル場

<math> \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x_1 }\mathbf{e}_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n }\mathbf{e}_n</math>

である。ただし、e_i はこの座標系の目地を描く直交単位ベクトルである。 函数が例えば時間のようなパラメータにも依存する場合、その勾配とは単に空間成分の微分のみからなるベクトルを指すことも多い。

三次元デカルト座標系においてこれは、i, j, k を基本単位ベクトルとして

<math>\frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} +

\frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{k}</math> と書ける。例えば函数 f (x, y, z) = 2x + 3y² − sin(z) の勾配は ∇f = 2i + 6yj − cos(z)k となる。

応用に際して、勾配をその直交座標系に関する成分の成す行ベクトルもしくは列ベクトルとして表示することもある。

勾配と全微分の関係

写像の線型近似

ユークリッド空間 Rⁿ から R への函数 f の、任意の点 x₀ ∈ Rⁿ における勾配は、x₀ における f の最適線型近似を特徴づけるものである。即ち、線型近似式は x₀ にほど近い x に対して

<math> f(x) \approx f(x_0) + (\nabla f)_{x_0}\cdot(x-x_0) </math>

で与えられる。ここで <math>(\nabla f)_{x_0}</math> は x₀ における f の勾配であり、中黒は Rⁿ における点乗積である。この式は f の x₀ における多変数テイラー級数展開の最初の二項をとったものと同値である。

全微分

函数 f: Rⁿ → Rⁿ の点 x ∈ Rⁿ にける最適線型近似は、Rⁿ から R への線型汎函数であり、x における f の微分係数あるいは全微分係数 df_x, Df(x) と呼ばれる。従って勾配は全微分係数との間に

<math> (\nabla f)_x\cdot v = df_x(v)\quad (v\in\mathbb{R}^n)</math>

なる関係で結ばれている。x を df_x へ写す函数 df は f の（全）微分または（全）導函数と呼ばれ、これを一次微分形式と解釈して f の外微分と見做すこともできる。

Rⁿ を（長さ n で成分が実数値の）列ベクトル全体の成す空間と見るとき、全微分 df を行ベクトル

<math> df = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right) </math>

と見做して、df_x(v) を行列の積で与えることができる。このとき、勾配は列ベクトル

<math>\nabla f = {}^t(df)</math>

に対応する。

微分としての性質

U を Rⁿ の開集合とし、函数 テンプレート:Nowrap が（フレシェ）微分可能とすると、f の全微分は f の（フレシェ）導函数であり、従って ∇f は U から空間 R への写像で

<math>\lim_{h\to 0} \frac{\|f(x+h)-f(x) -\nabla f(x)\cdot h\|}{\|h\|} = 0</math>

を満たすものである（中黒は点乗積）。

この帰結として、勾配が通常の微分が持つ微分法則を満足することがわかる。

線型性

二つの実数値函数 f, g が点 テンプレート:Nowrap において微分可能で、α, β が実定数であるとき、線型和 テンプレート:Nowrap は a において微分可能であり、さらに

<math>

 \nabla(\alpha f+\beta g)(a) = \alpha \nabla f(a) + \beta\nabla g (a)

</math>