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'''パウリ行列'''(ぱうりぎょうれつ)とは、下に挙げる3つの2×2[[複素行列]]の組みのことである。<math>\sigma</math>([[Σ|シグマ]])で表記されることが多い。[[量子力学]]の[[スピン角運動量]]や、[[部分偏極状態]]の記述方法に関連が深い。 <math> \sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} </math> <math> \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix} </math> <math> \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} </math> 添字は[[数学]]では1, 2, 3が使われるが[[物理学]]ではx, y, zが使われる。また、[[座標系]]によって添字と3つの行列の対応が違ったり、あるいは符号が違ったり、さらには一見全く違って見えることもあるが、本質的な性質は変わらない。 これに[[単位行列]]を含めた4つの行列をパウリ行列と呼ぶこともある。 <math> \sigma_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} </math> ==基本的な性質== パウリ行列は[[エルミート行列]]であり、[[ユニタリー行列]]でもある。 パウリ行列<math>\sigma_k(k=1,2,3)</math>の[[トレース (数学)|トレース]](Tr)と[[行列式]](det)は次のとおり。 <math> \operatorname{Tr}(\sigma_k) = 0 </math> <math> \det(\sigma_k) = -1 </math> ちなみに、<math>\sigma_0</math>(単位行列)では <math> \operatorname{Tr}(\sigma_0) = 2 </math> , <math> \det(\sigma_0) = 1 </math> である。 === パウリ行列の積 === パウリ行列の積については :<math> \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \sigma_0 </math> :<math> \sigma_1 \sigma_2 = i \sigma_3, \quad \sigma_2 \sigma_3 = i \sigma_1, \quad \sigma_3 \sigma_1 = i \sigma_2 </math> :<math> \sigma_i \sigma_j = -\sigma_j \sigma_i \qquad (i, j = 1,2,3,\ i \ne j) </math> が成り立つ。これは定義から直接計算すればわかる。これをまとめて :<math> \sigma_i \sigma_j = \delta_{ij} \sigma_0 + i \epsilon_{ijk} \sigma_k \qquad (i,j,k = 1,2,3) \,</math> と書くことができる。これより[[交換関係]]と反交換関係は :<math> [ \sigma_i, \sigma_j ] = 2i \epsilon_{ijk} \sigma_k \,</math> :<math> \{ \sigma_i, \sigma_j \} = 2\delta_{ij} \sigma_0 \,</math> となる。 ==複素行列の実係数展開== 任意の2×2[[複素行列]]はパウリ行列(単位行列を含めた4つの行列)の線形結合で書ける。このとき係数は一般に[[複素数]]である。 また、任意の2×2'''エルミート行列'''をパウリ行列の線形結合で書いたとき、[[係数]]は[[実数]]になる。 部分偏極状態を表現する[[コヒーレンス行列]]はエルミート行列であるが、これをパウリ行列で展開した係数を要素とするベクトル([[実ベクトル]])は[[ストークスベクトル]]と呼ばれる。ストークスベクトルは、ある種の[[射影空間]]である[[ポアンカレ球]]の座標系を作る。 ==関連項目== *[[ヴォルフガング・パウリ]] *[[四元数]] {{DEFAULTSORT:はうりきようれつ}} [[Category:行列]] [[Category:量子力学]] [[Category:数学に関する記事]]
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