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[[File:Unit circle.svg|thumb|200px|単位円の図。変数 ''t'' は角度である。]] [[数学]]において'''単位円'''(たんいえん、unit circle)とは、半径が [[1]] の[[円 (数学)|円]]のことである。[[解析幾何学]](いわゆる“座標幾何”)では特に[[原点]](すなわち ''x'' 軸と ''y'' 軸の交点) ''O''(0, 0) を中心とするものをいう。これは、原点からの[[距離]]が 1 であるような点の全体が描く軌跡のことと言っても同じことである。 単位円はしばしば ''S''<sup>1</sup> で表される(これは ''n'' 次元の[[球面]] (sphere) という概念の ''n'' = 1 の場合という意味合いを含む)。 : ''S''<sup>1</sup> = {'''x''' ∈ '''R'''<sup>2</sup> | dist(''O'', '''x''') = 1} = {(''x'', ''y'') ∈ '''R'''<sup>2</sup> | ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> = 1}. == 単位円上の関数 == [[File:Circle-trig6.svg|thumb|220px|単位円と三角関数との関係]] 単位円上の任意の点の座標は、ある[[ラジアン|弧度]] θ (0 ≤ θ < 2π) により正弦関数と余弦関数を用いて : (cos θ, sin θ) と表される。これは三角関数の定義そのものである。詳しくは[[三角関数]]の項を参照されたい。 単位円上の関数は弧度を実数とみなすことにより、[[周期関数]]になる。周期関数のフーリエ展開は、単位円上の関数の既約指標による展開と見なされる。 == ガウス平面上の単位円 == [[複素数|複素数平面]]上の単位円は[[絶対値]]が 1 の複素数の描く軌跡 : {''z'' ∈ '''C''' | |''z''| = 1} = {exp(''i''θ) | 0 ≤ θ < 2π} となる(exp は[[ネイピア数|自然対数の底]] ''e'' を底とする複素変数の[[指数関数]])。これは、複素数の通常の積に関して閉じていて群を成し、'''円周群''' (circle group) などと呼ばれることがある。これはまた 1 次元の[[ユニタリー群]]と呼ばれる[[リー群]]であり、''U''(1) と記される。円周群は複素数平面において[[絶対値]]の定める通常の[[距離]]に関して、[[コンパクト位相群|コンパクト]]な[[位相群]]である。 任意の[[自然数]] ''n'' に対して円周群はただ一つの位数 ''n'' の部分群をもつ。それは 1 の ''n'' 乗根の全体であり、[[1の原始累乗根| 1 の原始 ''n'' 乗根]]で生成される巡回群である。 == 単位円板 == 中身の詰まった単位円として'''単位円板''' (unit disk) ''D'' = ''D''<sup>2</sup> は : ''D''<sup>2</sup>(''O''; 1) = {(''x'', ''y'') ∈ '''R'''<sup>2</sup> | ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> ≤ 1} で定義される。複素平面上の単位円板はしばしば太字(あるいは白抜きの) '''D''' で表される。[[位相幾何学]]ではこれに同相なものをやはり同じ名前で呼ぶ。単位円周 ''S''<sup>1</sup> は単位円板の境界 ∂''D'' を成し、単位円周を含まない単位円板を'''単位開円板'''と呼ぶ。単位開円板に対して単位円周を含む単位円板を'''単位閉円板'''と呼ぶこともある。円板 ''D''<sup>2</sup> は2-[[球体]]であるから ''B''<sup>2</sup> とも書かれる(B, D を別々に閉円板と開円板を表す文字として宛てて、区別して用いる場合もある)。またこのことから逆に ''n'' 次元球体 ''B''<sup>''n''</sup> を ''n'' 次元円板と呼んで ''D''<sup>''n''</sup> などと記す場合もある。開円板は閉円板 ''D'' の[[開核]] ''D''<sup>o</sup> であり、閉円板は開円板の[[閉包]]に等しく、開円板を ''D'' と書く場合には閉円板は <span style="text-decoration: overline; font-style: italic">D</span> で表される。 単位閉円板は、[[ユークリッド空間|ユークリッド平面]]における通常の位相に関して[[コンパクト (数学)|コンパクト]]である。単位開円板は[[双曲幾何学]]のモデルの一つである[[ポアンカレの単位円板モデル]]の台として用いられる。 == 関連項目 == * [[三角関数]] * [[リー群]] * [[コンパクト群]] {{DEFAULTSORT:たんいえん}} [[Category:解析幾何学]] [[Category:位相群]] [[Category:三角法]] [[Category:フーリエ解析]] [[Category:数学に関する記事]]
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