ナビエ-ストークス方程式

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ナビエ-ストークス方程式（ナビエ-ストークスほうていしき、テンプレート:Lang-en-short）は流体の運動を記述する2階非線型偏微分方程式であり、流体力学で用いられる。アンリ・ナビエとジョージ・ガブリエル・ストークスによって導かれた。NS方程式とも略される。ニュートン力学における運動の第2法則に相当し、運動量の流れの保存則を表す。

ナビエ-ストークス方程式の導出

運動量の保存則

<math>\;\frac{D v_i}{D t} = F_i + \frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial x_k}p_{ik},\quad(i,k\in\{1,2,3\})\;</math>

を書きかえる。ここで、左辺はラグランジュ微分：

<math>\;\frac{D}{D t} := \frac{\partial}{\partial t} + \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{\nabla},\;</math>

<math>\;\boldsymbol{v}=(v_i)\;</math>、<math>\;\boldsymbol{F}=(F_i)\;</math>、<math>\;\rho\;</math>、<math>\;p_{ik}\;</math>はそれぞれ、流速、単位質量あたりに働く外力（加速度）、密度、応力テンソル

である。今、ニュートン流体を仮定して

<math>\; p_{ik}= -\left(p + \frac{2}{3}\mu \Theta\right)\delta_{ik} + \mu e_{ik},\;</math>

に置きかえる。ここで、<math>\;\delta_{ik}\;</math>、<math>\;p\;</math>、<math>\;\mu\;</math>はそれぞれ、クロネッカーのデルタ、圧力、粘性率である。 また、<math>\;e_{ik}\;</math>は変形速度テンソル、

<math>\;e_{ik} := \frac{\partial v_i}{\partial x_k} + \frac{\partial v_k}{\partial x_i},\;</math>

<math>\;\Theta\;</math>は、

<math>\;\Theta := \boldsymbol{\nabla}\cdot \boldsymbol{v} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^3 e_{kk},\;</math>

で定義される。 これを元の式に代入すると、

<math>\;\rho \left(\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t} - \boldsymbol{v}\times\left(\boldsymbol{\nabla}\times \boldsymbol{v}\right)

+\frac{1}{2}\boldsymbol{\nabla}q^2\right) = \rho \boldsymbol{F} - \boldsymbol{\nabla}p + \frac{4}{3}\boldsymbol{\nabla}\mu\Theta+\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla}\mu) - \boldsymbol{v}\boldsymbol{\nabla}^2 \mu + \boldsymbol{\nabla}\mu \times (\boldsymbol{\nabla}\times \boldsymbol{v}) - \Theta \boldsymbol{\nabla}\mu -\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{\nabla}\times \mu \boldsymbol{v},\;</math> を得る。ただし、<math>\;q:=|\boldsymbol{v}|\;</math>は流速の大きさである。この方程式をナビエ-ストークス方程式という。

近似方程式

ナビエ-ストークス方程式は複雑すぎて解を求めることは困難であるので、いくつかの仮定をして問題を単純化することが多い。しかし単純化された方程式でも解析的な解法は知られておらず、数値的解法が必要であることが多い。

粘性率が一定の圧縮性流れ

μ = const.とした場合の近似方程式。

<math>\;\rho \left(\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t} - \boldsymbol{v}\times\left(\boldsymbol{\nabla}\times \boldsymbol{v}\right)

+\frac{1}{2}\boldsymbol{\nabla}q^2\right) = \rho \boldsymbol{F} - \boldsymbol{\nabla}p + \frac{4}{3}\mu\boldsymbol{\nabla}\Theta -\mu\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{v}</math>

非圧縮性流れ

ρ= const.とした場合の近似方程式。粘性を動粘性係数ν = μ/ρ を用いて書き直すことが多い。

<math>\;\left(\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t} - \boldsymbol{v}\times\left(\boldsymbol{\nabla}\times \boldsymbol{v}\right)

+\frac{1}{2}\boldsymbol{\nabla}q^2\right) = \boldsymbol{F} - \frac{1}{\rho}\boldsymbol{\nabla}p + \frac{4}{3}\boldsymbol{\nabla}\nu\Theta+\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla}\nu) - \boldsymbol{v}\boldsymbol{\nabla}^2 \nu + \boldsymbol{\nabla}\nu \times (\boldsymbol{\nabla}\times \boldsymbol{v}) - \Theta \boldsymbol{\nabla}\nu -\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{\nabla}\times \nu \boldsymbol{v},\;</math>

粘性率が一定の非圧縮性流れ

μ = const.、ρ = const.

<math>\frac{ \partial \boldsymbol{v} }{ \partial t } + ( \boldsymbol{v} \cdot \nabla )\boldsymbol{v}

= -\frac{ 1 }{ \rho } \nabla p + \nu \nabla^2 \boldsymbol{v} + \boldsymbol{F}</math>

オイラー方程式

粘性のない圧縮性流れ（μ = 0）を仮定して得られる式はオイラー方程式と呼ばれている。

<math>\;\rho \left(\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t} - \boldsymbol{v}\times\left(\boldsymbol{\nabla}\times \boldsymbol{v}\right)

+\frac{1}{2}\boldsymbol{\nabla}q^2\right) = \rho \boldsymbol{F} - \boldsymbol{\nabla}p</math>

ストークス流れ（クリープ流れ）

レイノルズ数が小さい（すなわち流体の速度が遅かったりスケールが小さいなどの）場合に、非線型である対流項

<math>\left( \boldsymbol{v} \cdot \nabla \right) \boldsymbol{v}</math>

を無視した近似方程式

<math>\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t} =(\nabla\cdot\mu\nabla)\boldsymbol{v} - \frac{1}{\rho}\nabla p + \boldsymbol{F}</math>

をストークス方程式（Stokes equations）と呼ぶ。

ポテンシャル流れ

非粘性で、速度場が非回転（μ= 0, ）の場合の流れをポテンシャル流れという。

<math>\nabla \times \boldsymbol{v} = \boldsymbol{0}</math>

ブシネスク近似

熱輸送を伴う流れにおいて、温度による密度変化が大きくないとして扱う近似法をブシネスク近似という。

境界層近似

流れが主流方向を持ち（逆流、再循環および剥離がない）、幾何的な変形が緩やかなときに行う近似法を境界層近似という。

一般解

しばしば用いられる条件である、非圧縮性流れ (incompressible flow) ρ = const. の場合、ナビエ-ストークス方程式は

<math>\frac{ \partial \boldsymbol{v} }{ \partial t } + ( \boldsymbol{v} \cdot \nabla )\boldsymbol{v}

= -\frac{ 1 }{ \rho } \nabla p + \nu \nabla^2 \boldsymbol{v} + \boldsymbol{F}</math>

と簡単化される。ここで<math>\;\nu:=\mu / \rho\;</math>は動粘性係数である。各項はそれぞれ、

• 左辺 - 第1項 : 時間[微分]項、第2項 : 移流項（対流項）
• 右辺 - 第1項 : 圧力項、第2項 : 粘性項（拡散項）、第3項 : 外力項

と呼ばれる。外力項には、状況によって、重力をはじめ浮力・表面張力・電磁気力などが該当する。

上記の、非圧縮性流れに対するナビエ-ストークス方程式は、未知数として圧力<math>\;p\;</math> と流速<math>\;\boldsymbol{v}\;</math> を含んでいる。したがって未知数決定に必要な方程式の数が足りない。そこで、質量保存則から導かれる連続の式（非圧縮性流れについては次の形）

<math>\nabla \cdot \boldsymbol{v} = \mathrm{div} \, \boldsymbol{v} = 0 \quad \text{(for incompressible flow)}</math>

と連立することによって、原理的には解くことが可能である。もし一般解が求まれば、流体の挙動を完全に知る事ができることになるが、未だ一般解は見つかっていない。また、解の存在性についても明らかとはなっておらず、物理学と数学の懸案事項の一つとなっている（ミレニアム懸賞問題、ナビエ-ストークス方程式の解の存在と滑らかさ参照）。したがって特殊な条件の問題を除いて、一般には次に示すように数値計算によって近似的に解かれる。

数値シミュレーション

流体の数値シミュレーション（数値流体力学、CFD）では、このナビエ-ストークス方程式と連続の式、その他必要に応じてエネルギーの式（熱対流）やマクスウェルの方程式（電磁流体力学）、状態方程式などを連立して、数値的に解くことで流体の挙動を予測する。

移流と拡散両方に関係している現象であるので、クーラン数、拡散数の両方を満たすようにシミュレーションを行う必要がある。

非線型性（乱流）

移流と粘性の強さの比率はレイノルズ数と呼ばれる無次元数であり、レイノルズ数がある閾値を越えると微小なかく乱が移流項の非線型性により拡大していくことで流れ場は非定常な乱流となる。

一方、右辺の粘性率を含む項（粘性項）は乱流の変動を抑制する効果を持つ。

関連項目

• ナビエ-ストークス方程式の解の存在と滑らかさ
• 流体力学
• バーガース方程式
• 移流拡散方程式

外部リンク

• 京都大学 Navier-Stokes方程式の数理とその応用プロジェクト