サイクロイド

ファイル:Cycloid animated.gif

サイクロイド (cycloid) とは、円がある規則にしたがって回転するときの円上の定点が描く軌跡として得られる平面曲線の総称である。一般にサイクロイドといえば定直線上を回転するものを指すことが多い。この記事ではサイクロイドと併せて外サイクロイドや内サイクロイドについても解説する。

サイクロイド

ファイル:Cycloid.png

サイクロイド
(r_m = 1, -π≤θ≤2π )

定直線に沿って円が滑らずに回転するときの円周上の定点の軌跡をサイクロイドという（→生成アニメーション）。擺線（はいせん）とも呼ばれる。サイクロイドはトロコイドの一種と見なすことができる。

動円の半径を r_m、回転角を θ とすると、サイクロイドの媒介変数表示は

<math>\begin{cases}

x = r_m(\theta - \sin \theta), \\ 
y = r_m (1 - \cos \theta).

\end{cases}</math>

<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}=\frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta}</math>
<math>\frac{d^2 y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\frac{dy}{dx}=\frac{d\theta}{dx}\frac{d}{d\theta}\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{r_m(1 - \cos \theta)^2}</math>
"円が1回転したときの定点の軌跡" の長さを l とすると、<math>l = 8r_m </math>（= "直径" の 4倍）
"円が1回転したときの定点の軌跡" と "x-軸" で囲まれた部分の面積を S とすると、<math>S = 3 \pi r_m^2</math>（= "円の面積" の 3倍）
x軸まわりの回転体の体積を V_x とすると、<math>V_x = 5 \pi^2 r_m^3</math>
x軸まわりの回転体の表面積を S_x とすると、<math>S_x = \frac{64}{3} \pi r_m^2</math>

サイクロイドの微分方程式は

<math>\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 =\frac{2r_{m}}{y}-1</math>

外サイクロイド

ファイル:Epicycloid2.png

外サイクロイド
(r_c = 1, r_m = 1/3（マゼンタ）, 1/2（黄）, 1（緑）, 2（赤）, 3（青）)

定円に外接しながら円が滑らずに回転するときの円周上の定点の軌跡を外サイクロイド（がい-）という（→生成アニメーション）。エピサイクロイド (epicycloid)、外擺線（がいはいせん）とも呼ばれる。外サイクロイドは外トロコイドの一種と見なすことができる。

定円の半径を r_c、動円の半径を r_m、回転角を θ とすると、外サイクロイドの媒介変数表示は

<math>\begin{cases}

x = (r_c+r_m) \cos\theta 
- r_m \cos\left(\frac{r_c+r_m}{r_m}\theta\right),\\[10pt]
y = (r_c+r_m) \sin\theta 
- r_m \sin\left(\frac{r_c+r_m}{r_m}\theta\right).

\end{cases}</math>

定円と回転する円の半径の比が 1:1 のときカージオイド、2:1 のときネフロイド(英語版)となる。

内サイクロイド

ファイル:Hypocycloid2.png

内サイクロイド
(r_c = 1, r_m = 1/2（黄）, 1/3（緑）, 1/4（赤）, 1/5（青）)

定円に内接しながら円が滑らずに回転するときの円周上の定点の軌跡を内サイクロイド（ない-）という（→生成アニメーション）。ハイポサイクロイド (hypocycloid)、内擺線（ないはいせん）とも呼ばれる。内サイクロイドは内トロコイドの一種と見なすことができる。

定円の半径を r_c、動円の半径を r_m、回転角を θ、ただし r_c > r_m > 0 とすると、内サイクロイドの媒介変数表示は

<math>\begin{cases}

x = (r_c-r_m) \cos\theta 
+ r_m \cos\left(\frac{r_c-r_m}{r_m}\theta\right),\\[10pt]
y = (r_c-r_m) \sin\theta 
- r_m \sin\left(\frac{r_c-r_m}{r_m}\theta\right).

\end{cases}</math>

定円と回転する円の半径の比が 2:1 のとき定円の直径となり、4:1 のときアステロイドとなる。

応用分野

テンプレート:仮リンク
サイクロイド振り子 - 任意振幅に対して等時性を担保する振り子

外部リンク

テンプレート:MathWorld Retrieved April 27, 2007.
Cycloids at cut-the-knot
A Treatise on The Cycloid and all forms of Cycloidal Curves, monograph by Richard A. Proctor, B.A. posted by Cornell University Library.
Cicloides y trocoides
Cycloid Curves by Sean Madsen with contributions by David von Seggern, en:Wolfram Demonstrations Project.

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