内積

テンプレート:出典の明記線型代数学における内積（ないせき、inner product）は、（実または複素）ベクトル空間上で定義される非退化かつ正定値の対称双線型形式（実の場合）あるいはエルミート半双線型形式（複素の場合）のことである。二つのベクトルに対してある数（スカラー）を定める演算であるためスカラー積（スカラーせき、scalar product）ともいう。内積を備えるベクトル空間は内積空間と呼ばれ、内積の定める計量を持つ幾何学的な空間と見做される。エルミート半双線型形式の意味での内積はしばしば、エルミート内積またはユニタリ内積と呼ばれる。

定義

テンプレート:See also

複素数体 C 上のベクトル空間 V に対して、写像テンプレート:Math が

第二変数に関する線型性: 〈x, αy + z〉 = α〈x, y〉 + 〈x, z〉
エルミート対称性: 〈x, y〉 = 〈y, x〉

を満たす（ここで上付きのバーは複素共役を表す）とき、対称半双線型形式 (symmetric sesquilinear form) あるいはエルミート半双線型形式（または単にエルミート形式）であるという。エルミート形式において、第一変数に関しては

共軛線型性: 〈αx + y, Z〉 = α〈x, y〉 + 〈x, z〉

が成り立つから、エルミート形式は半双線型形式である。実ベクトル空間の場合には（複素共軛をとる操作は自明となるから）上記の条件はテンプレート:Math が対称双線型形式であることを意味するものになる。ベクトル空間 V とエルミート形式テンプレート:Math との組テンプレート:Math をエルミート空間と呼ぶこともある。

任意の有限次元複素ベクトル空間または複素ヒルベルト空間における内積は、

テンプレート:仮リンク: V の元 x に対して 〈x, x〉 = 0 ならば x = 0.
正定値性: V の任意の元 x に対して 〈x, x〉 ≥ 0.

を満たす。即ち内積は非退化正定値エルミート形式である。

実ベクトル空間上の内積は非退化正定値対称双線型形式である。

注意

文献によっては、エルミート内積および半双線型形式は第二引数に関して線型、従って第一引数に関して共軛線型とするもの（特に物理学や行列環に関するもの）と、それとは逆に第一引数に関して線型、第二引数に関して共軛線型とするものがある。前者の分野においては、上記の内積テンプレート:Math を（量子力学におけるブラケット記法で）テンプレート:Math と書いたり、（点乗積を行ベクトルテンプレート:Math と列ベクトルテンプレート:Math との行列の積テンプレート:Math と見て）テンプレート:Math などと書くことも多い。ここでは、ケットベクトルと列ベクトルはベクトル空間テンプレート:Math のベクトルと同一視され、ブラベクトルと行ベクトルは双対空間テンプレート:Math のテンプレート:仮リンクあるいは線型汎函数と同一視され、複素共軛は双対性と関連付けられる。また現在ではより抽象的な文脈においてもこのテンプレート:Math が（テンプレート:Math に関してではなく）テンプレート:Math に関して共軛線型とする定義を採用するものが時折みられる^[1]。また、いくつかの文献で妥協点としてテンプレート:Math とテンプレート:Math を両方使い、それぞれどちらの引数に関して共軛線型なのかを区別するものとして扱うものがある。

場合によっては、非負の「半定値」半双線型形式を考える必要があることがある。つまり、テンプレート:Math は非負であることのみが要求され、非退化でないものも考えるということである（後述）。

基本性質

エルミート対称性に注意すれば、任意のテンプレート:Math に対して

<math>\langle x,x \rangle = \overline{\langle x,x \rangle}</math>

ゆえ、これは実数値である。さらに半双線型性により

<math> \langle -x,x \rangle= -1\langle x,x\rangle = \overline{-1}\langle x,x\rangle = \langle x,-x\rangle</math>

が成り立つ。

線型性により、「テンプレート:Math ならばテンプレート:Math」が成り立ち、また非退化性はその逆「テンプレート:Math ならばテンプレート:Math」を言うものであるから、これらを合わせて、テンプレート:Math を得る。

内積の半双線型性を用いれば、平方展開

<math>\langle x + y,x + y\rangle = \langle x,x\rangle + \langle x,y\rangle + \langle y,x\rangle + \langle y,y\rangle = \langle x,x\rangle + 2\Re\langle x,y\rangle + \langle y,y\rangle</math>

が成り立ち、特に係数体がテンプレート:Math の場合には内積は対称だから、

<math>\langle x \pm y,x \pm y\rangle =\langle x,x\rangle \pm 2\langle x,y\rangle + \langle y,y\rangle</math>

を得る。また線型性においてスカラーについて特に考えないとき

<math>\begin{align}

 \langle x+y,z\rangle &= \langle x,z\rangle+ \langle y,z\rangle,\\
 \langle x,y+z\rangle &= \langle x,y\rangle + \langle x,z\rangle

\end{align}</math> が成り立つが、これは分配性あるいは加法性（双加法性）とも呼ばれる。

例

テンプレート:Math における内積

実テンプレート:Math-次元数ベクトル空間テンプレート:Math において、任意の二元テンプレート:Math に対し、

<math> \langle x,y \rangle := x^{\top}y = \sum_{i=1}^{n} x_iy_i</math>

（右肩のテンプレート:Math は行列の転置をとる意で、中辺は行列としての積）とすると、このテンプレート:Math は（正定値な）内積の性質を満たす。これを、テンプレート:Math の標準内積と呼ぶ。また、テンプレート:Math 次の（正定値）対称行列テンプレート:Math を用いて

<math> \langle x,y \rangle_A := x^{\top}Ay</math>

とおくと、これも（正定値）内積の性質を満たす。

テンプレート:Math における内積

複素テンプレート:Math-次元数ベクトル空間テンプレート:Math において、任意の二元テンプレート:Math に対し、

<math> \langle x,y \rangle := \bar{x}^{\top}y = \sum_{i=1}^{n} \bar{x}_i y_i</math>

とすると、このテンプレート:Math はエルミート内積の性質を満たす。また、テンプレート:Math 次の（正定値）エルミート行列テンプレート:Math を用いて

<math> \langle x,y \rangle_A := \bar{x}^{\top}Hy</math>

とおくと、これも（正定値）エルミート内積の性質を満たす。

対称行列の空間テンプレート:Math における内積

テンプレート:Math 次対称行列の空間テンプレート:Math について、テンプレート:Math に対して

<math> \langle X,Y \rangle := \mathrm{Tr}(XY)</math>

と取ると、これは内積を与える。

テンプレート:Math における内積

テンプレート:Math をユークリッド空間の開集合とする。テンプレート:Math 上の二乗可積分な関数全体の成す集合を関数がほとんど至る所等しい（測度零の集合上でとる値を除いて等しい）という同値関係で割って得られる空間 [[ルベーグ空間|テンプレート:Math]] には、二乗可積分関数テンプレート:Math について

<math> \langle f,g \rangle := \int_{\Omega}f(x)\overline{g(x)}dx</math>

と置いて、エルミート内積が定まる。より一般に、テンプレート:Math を測度空間とすると、テンプレート:Math の二元テンプレート:Math について

<math> \langle f,g \rangle := \int_{\Omega}f(x)\overline{g(x)}d{\mu}(x)</math>

と置いたものはエルミート内積の性質を満たす。

内積の幾何学性

一つのベクトル空間に定義される内積は一つとは限らない。また、ある内積テンプレート:Math に対して

<math> \left\| x \right\| := \sqrt{ \left\langle x, x \right\rangle} </math>

と定めると、1 つのノルムテンプレート:Math が定義できる（これを内積が定めるノルムと呼ぶ）。ノルムは与えられた内積ではかった "ベクトルの大きさ" であり、

<math>\cos\theta = \frac{\left\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \right\rangle}{\left\| a \right\|\left\| b \right\|}</math>

とおくことで、二つのベクトルのなす角が定められる。この意味で内積はベクトル空間に計量 (metric) を定めるという。

こうして定義されたノルムについては、次の幾何学的な性質を表す中線定理が成り立つ。

また、さらに内積で定めたノルムと内積について、次の関係式が成り立つ。実数体R上の内積空間の元x, yに対して、

<math>\langle x,y \rangle =\frac{1}{4} \{\left \| x+y \right \| ^2 - \left \| x-y \right \| ^2 \}</math>

もしくは複素数体C上の内積空間の元x, yに対して、

<math>\langle x,y \rangle =\frac{1}{4} \{(\left \| x+y \right \| ^2 - \left \| x-y \right \| ^2)+i(\left \| x+iy \right \| ^2 - \left \| x-iy \right \| ^2) \} \quad i=\sqrt{-1}</math>

この関係式を分極公式、または偏極公式 (polarization identity) という。

このように、内積はベクトル空間の代数的な性質と幾何的な性質の橋渡しをするものである。詳細については計量ベクトル空間の項を参照されたい。

一般化

内積の公理を適当に弱めることにより、内積を一般化する概念を考えることができる。

退化内積（半内積）

内積と最も関連性の高い一般化は、双線型性や共軛対称性はそのままに、正定値性に関する要請を弱めるものである。ベクトル空間テンプレート:Math とその上の半正定値半双線型形式テンプレート:Math に対して、写像

<math> \|x\| = \sqrt{\langle x, x\rangle}</math>

は意味を持ち、テンプレート:Math がテンプレート:Math を導かないこと以外はノルムの性質をすべて満足する（このような汎函数はテンプレート:仮リンクと呼ばれる）。商線型空間テンプレート:Math} を考えると、半双線型形式テンプレート:Math はテンプレート:Math 上の内積を誘導する。

このような内積空間の構成法は様々な場面で用いられ、特に重要な例はテンプレート:仮リンクである。ほかにも任意の集合上のテンプレート:仮リンクの表現などが例に挙げられる。

非退化共軛対称形式（不定値内積）

テンプレート:Main 別な方向での一般化は、（正定値性を落として）対付ける写像が単にテンプレート:仮リンクであるようにするものである。これは各非零元テンプレート:Math は適当なテンプレート:Math を取ってテンプレート:Math とすることが（テンプレート:Math でなくてもいいから）できるということであり、即ち双対空間に引き起こされる写像テンプレート:Math が単射ということである。この一般化は微分幾何学で重要である。リーマン多様体は各接空間が内積を持つ多様体であるが、これを弱めて非退化共軛対称形式を持つ場合を考えたものは擬リーマン多様体である。テンプレート:仮リンクによれば、任意の内積がベクトルの集合上の正値荷重を持つ点乗積に相似であるのと同様に、任意の非退化共軛対称形式はベクトルの集合上の非零荷重を持つ点乗積に相似になり、またこのとき正および負の荷重の個数はそれぞれ正および負の指数と呼ばれる。ミンコフスキー空間におけるベクトルの積は「不定値内積」の例だが、技術的な言い方をすれば、これは上で述べた標準的な定義に従う「内積」ではない。ミンコフスキー空間は実四次元で、各符号 (テンプレート:Math) の指数は 3 および 1 （符号数 (3,1)）である。

（正定値性に触れない）純代数的な主張はふつう非退化性（単射準同型テンプレート:Math) のみに依存して決まり、ゆえにより一般の状況においても成立する。

注釈

↑ テンプレート:Cite book

外部リンク

[1] テンプレート:Cite book

[1]

内積

目次

定義

注意

基本性質

例

内積の幾何学性

一般化

退化内積（半内積）

非退化共軛対称形式（不定値内積）

関連のある積について

関連項目

注釈

外部リンク

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