転置行列

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転置行列(てんちぎょうれつ、transposed matrix)とは mn 列の行列 A に対して A の (i, j) 要素と (j, i) 要素を入れ替えた nm 列の行列、つまり対角線で成分を折り返した行列のことである。転置行列は ATtA、また Atr などと表現される。

<math>

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}

 a & b & c \\
 d & e & f

\end{pmatrix}

</math>

に対して転置行列 AT, BT はそれぞれ

<math>

A^{\mathrm{T}} = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \\ \end{pmatrix}, \quad B^{\rm T} = \begin{pmatrix}

 a & d \\
 b & e \\
 c & f

\end{pmatrix}. </math>

性質

A, B は行列、k はスカラーとして各演算が定義できる限りにおいて次が成り立つ:

  • (AT)T = A, (A + B)T = AT + BT, (AB)T = BTAT, (kA)T = kAT
  • n 次正方行列 Aトレースを tr A とすると tr A = tr AT
  • n 次正方行列 A と標準内積 (·, ·) に関して (Ax, y) = (x, ATy) が任意の n 次元ベクトル x, y に対して成り立つ。

線形写像との関係

m × n 行列 An 次元ベクトル空間 V から m 次元ベクトル空間 W への線形写像 fA</sup> とみなすとき、A の転置行列 AT には fA の転置写像が対応する。すなわち、AT に対応する W双対空間 W* から V の双対空間 V* への線形写像は

<math>{}^tf_A (\xi) = \xi \circ f_A </math>

(for ξ ∈ W*) によって定義される写像 tfA: W*V* である。

関連項目


テンプレート:Asbox

テンプレート:Tensors