有理型関数
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ファイル:Gamma abs 3D.png
ガンマ関数は全複素平面で有理型である。
数学において、有理型関数（ゆうりけいかんすう、meromorphic function）あるいは、関数が有理型（ゆうりけい、meromorphic）であるとは、複素数平面あるいは連結リーマン面のある領域で定義され、その中で極（仮性特異点）以外の特異点を持たない解析関数（特異点以外では正則な関数）のことを指す。
有理型関数は正則関数の商として表され、その分母となる正則関数の零点が元の有理型関数の極となる（分母は定数関数 <math>0</math> にはならない）。
例
多項式関数は正則であるから、例えば <math>f(z) = \frac {z^3-2z+1} {z^5+3z-1}</math> のような有理関数は全て有理型である。また、関数 <math>f(z) = \frac {\exp (z)} {z}</math> や <math>f(z) = \frac {\sin (z)} {(z-1)^2}</math> も有理型で、ガンマ関数 や リーマンのゼータ関数も同様である。
一方、対数関数 <math>f(z) = \ln (z)</math>や<math>f(z) = \exp \left( \frac {1} {z} \right)</math> は有理型でない。例えば後者は <math>z = 0</math> に真性特異点を持つ。
性質
- 有界閉領域上で定義される有理型関数は、零点も極も有限個しか持たない。
- 解析接続を使って除きうる特異点を解消してやれば、有理型関数同士で四則演算をとったものはやはり有理型である（勿論除法に関して、定数関数 <math>0</math> で除することは除く）。従って、（同じ領域で定義される）有理型関数の全体の成す集合は体を成す。この体は複素数体の拡大体である。
言い換え
リーマン面の言葉で言えば、有理型関数というのは、「リーマン球面への正則関数であって、常に <math>\infty</math> の値をとる定数関数ではないもの」ということと同じである。このとき有理型関数の極とはリーマン球面の無限遠点 <math>\infty</math> へ移される複素数のことである。
