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2014-07-20T13:49:34Z

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[[自然数]] ''n'' の'''階乗'''（かいじょう、{{lang-en|''factorial''}}）を''n'''''[[感嘆符#数学|!]]'''で表す。階乗とは、[[1]] から ''n'' までの[[自然数]]の[[総乗]]
:<math>n\times(n-1)\times\cdots\times3\times2\times1=\prod_{k=1}^n k</math>
のことを言い、
例えば、6! = 6･5･4･3･2･1 = 720 である。階乗数は ''n'' が大きくなるにつれて驚くほど大きな数になるので記号として「!」が使われるようになったという。

また、0! = 1 と約束する。これは、(''n'' − 1)! = ''n''! / ''n'' であるから、0! = 1!/1 = 1 と考えられるため、あるいは、''n''! が異なる ''n'' 個のものを並べる[[順列]]の総数 {{sub|''n''}}P{{sub|''n''}} に一致し、0 個のものを並べる順列は「何も並べない」という一通りがあると考えられるため、などと解釈できる。

順列では、互いに異なる ''n'' 個のものから ''n'' 個全部または ''n'' − 1 個を選んで一列への並べる方法は ''n''! 通りあり、互いに異なる ''n'' 個のものから ''n'' 個全部を選んで円環状に並べる方法は (''n'' − 1)! 通りある。

== 階乗数 ==
ある非負整数の階乗である自然数を階乗数という。
{{Indent|
0! <nowiki>=</nowiki> 1 
1! <nowiki>=</nowiki> 1 
2! <nowiki>=</nowiki> 2 
3! <nowiki>=</nowiki> 6 
4! <nowiki>=</nowiki> 24 
5! <nowiki>=</nowiki> 120 
6! <nowiki>=</nowiki> 720 
7! <nowiki>=</nowiki> 5040 
8! <nowiki>=</nowiki> 40320 
9! <nowiki>=</nowiki> 362880 
10! <nowiki>=</nowiki> 3628800 
}}
また階乗数の[[逆数]]の[[総和]]は
:<math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} =2.71828182845904523536028747\cdots =e</math>
となり[[自然対数]]の底 [[ネイピア数|''e'']] に等しい。

== 組み合わせ ==
== スターリングの近似公式 ==
{{main|スターリングの近似}}
大きな数の階乗はスターリングの公式によって近似することができる。
:<math>n!\approx \sqrt{2\pi n}\, \frac{n^n}{e^n} =\sqrt{2\pi} n^{n+\frac{1}{2}} e^{-n} \qquad (n\gg 0)</math>
例えば、
{{Indent|<math>20! = 2432902008176640000 \approx2.432902\times10^{18}</math> 
<math>20! \approx \sqrt{2\pi}20^{20+\frac{1}{2}}e^{-20}\approx2.422787\times10^{18}</math>}}
である。

== 拡張 ==
=== Γ関数 ===
{{main|Γ関数}}
階乗は、自然数を[[変数 (数学)|変数]]とする[[写像]]と考えることができるが、この[[定義域]]を[[実数]]に拡張したものにガンマ関数
:<math>\Gamma (z)=\lim_{n\to\infty} \frac{n^zn!}{\prod_{k=0}^n (z+k)}</math>
がある。定義域を正の実数に制限すれば、これは自然数 ''n'' に対し、''Γ''(''n'' + 1) = ''n''! を満たす実数値[[連続関数]]である。ガンマ関数はさらに[[負の整数]]を除く複素数の範囲にまで拡張される。

これを使って、非負整数以外の階乗を定義できる。例えば、
:<math>\left( -\frac{1}{2} \right) !=\Gamma \left( \frac{1}{2} \right) =\sqrt{\pi}</math>
なので、''n''! = ''n'' × (''n'' − 1)! より、[[半整数]]に対する階乗は
:<math>\left( n+\frac{1}{2} \right) !=\sqrt{\pi} \times \prod_{k=0}^n \frac{2k+1}{2}</math>
であり、よって 3.5! は、
:<math>3.5!=\sqrt{\pi} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{7}{2} = \frac{105\sqrt{\pi}}{16}\approx 11.63</math>
となる。なお、''n'' > 1 ならば ''n''! < (''n'' + 1/2)! < (''n'' + 1)! である。

(''n'' − 1)! = ''n''! / ''n'' より、負数の階乗も考えられる。ただし負の整数の階乗は（0 での[[除算]]になるため）定義できない。

=== 多重階乗 ===
'''二重階乗'''は、自然数 ''n'' に対し、''n'' が奇数なら 1 から ''n'' までの奇数の総乗、''n'' が偶数なら 2 から ''n'' までの偶数の総乗である。これを ''n''!! と書き、逆正弦関数 Arcsin ''x'' の[[テイラー展開]]などに用いられる。なお、0! = 1 と同様に、0!! = (−1)!! = 1 である。

あまり使用されないが、'''三重階乗'''は ''n''!!! または ''n''!3 で表し、'''四重階乗'''は ''n''!!!! または ''n''!4 で表す。

一般の'''''m''重階乗'''は ''n''!''m'' で表す。''n'' < ''m'' のとき、''n''!''m'' = n である。
{{Indent|
<math>0!!=1</math> 
<math>1!!=1</math> 
<math>2!!=2</math> 
<math>3!!=3</math> 
<math>4!!=8</math> 
<math>5!!=15</math> 
<math>6!!=48</math> 
<math>7!!=105</math> 
<math>8!!=384</math> 
<math>9!!=945</math> 
<math>10!!=3840</math> 
<math>(2n+1)!!=\frac{(2n+1)!}{(2n)!!} =\frac{(2n+1)!}{2^n n!}</math>
}}

{{節stub}}

=== 階乗冪 ===
自然数 ''x'' の階乗は 1 から ''x'' までの数の乗積であるが、''x'' から 1 に向かって ''x'' 個の数の積でもある。これを一般化して、''x'' 個ではなく ''n'' 個の数の積としたもの、いわば不完全な階乗が考えられる。それを普通の階乗と区別するために階乗冪 (factorial power) という。階乗冪には下降階乗 (falling factorial) と上昇階乗 (rising factorial) とがある。

下降階乗は ''x'' から負の向きにn個の数の乗積である。
{{Indent|<math>\begin{align}
&x^{\underline{n}}=\prod_{k=0}^{n-1}(x-k)=\frac{x!}{(x-n)!}\\
&n!=n^{\underline{n}}\\
\end{align}</math>}}
上昇階乗は ''x'' から正の向きに ''n'' 個の数の乗積である。
{{Indent|<math>\begin{align}
&x^{\overline{n}}=\prod_{k=0}^{n-1}(x+k)=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}\\
&n!=1^{\overline{n}}\\
\end{align}</math>}}

定義から階乗冪はすべての複素数に対しても定義できる。その場合、階乗による表記はガンマ関数を用いて書き直す必要がある。

具体的には次のようになる<ref>右辺は反射公式による。</ref><ref>''x'' = 0 の場合、階乗冪は当然 0 であるがガンマ関数による表記は ''x'' = 0 の場合もカバーしている。また、''x'' < ''n'' のときの自然数 ''x'' に対する下降階乗、および −''x'' < ''n'' のときの負の整数 ''x'' に対する上昇階乗も 0 になるが、それもカバーしている。</ref>。
{{indent|<math>x^{\underline{n}}=\frac{\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}
=(-1)^{n}\,\frac{\Gamma (-x+n)}{\Gamma (-x)}</math>}}
{{indent|<math>x^{\overline{n}}=\frac{\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}
=(-1)^{n}\,\frac{\Gamma (-x+1)}{\Gamma (-x-n+1)}</math>}}
特に上記二式の右辺の式は ''x'' が負の整数の場合に特に有効<ref>ガンマ関数は 0 および負の整数で極を持つため、中辺の式では定義できない。</ref>である。

上記の式から、下降階乗と上昇階乗の間に次の関係が成り立つことが分かる。
:<math>x^{\underline{n}} =(-1)^n \, (-x)^{\overline{n}}</math>
:<math>x^{\overline{n}} =(-1)^n \, (-x)^{\underline{n}}</math>

==== ポッホハマー記号 ====
ポッホハマー記号 (Pochhammer symbol) は上昇階乗を表す記号である。
:<math>(x)_n=x^{\overline{n}} =\prod_{k=0}^{n-1} (x+k)</math>
ただし、下降階乗を <math>(x)_n</math> で表し、上昇階乗を <math>(x)^{(n)}</math> で表している文献もある<ref>[http://mathworld.wolfram.com/PochhammerSymbol.html Wolfram Mathworld: Pochhammer Symbol]</ref>。

==== 和の公式 ====
上昇階乗とその逆数は、和の公式が次のような形で書くことができる。双方の公式とも、[[畳み込み級数]]となることを利用すれば導出できる。
::<math>
\begin{align}
& \sum_{k=1}^n k^{\overline{m}} = \frac{n^{\overline{m+1}}}{m+1},\\
& \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^{\overline{m+1}}} = \frac{1}{m}\left(\frac{1}{m!} - \frac{1}{(n+1)^{\overline{m}}}\right).
\end{align}
</math>

== 関連記事 ==
*[[超階乗]]
*[[総乗]]
*[[無限積]]
*[[ガンマ関数]]
*[[階乗素数]]
*[[素数階乗]]
*[[交互階乗]]
*[[巨大数]]

== 脚注および出典 ==
<references/>

== 外部リンク ==
*http://factorielle.free.fr
*http://www.elektro-energetika.cz/calculations/faktorial.php?language=ja

{{級数}}

{{DEFAULTSORT:かいしよう}}
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[[Category:解析学]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:数学に関する記事]]

階乗 - 版の履歴

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