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2013-10-11T06:52:50Z

点群の既約表現

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{{otheruses|'''数学'''の'''移動操作'''|3次元形状のデータ形式|点群 (データ形式)}}

[[数学]]における'''点群'''（てんぐん、{{lang-en-short|point group}}）とはある[[図形]]の形を保ったまま行う移動操作のうち、少なくとも1つの[[不動点]]を持つものを[[元 (数学)|元]]とする[[群 (数学)|群]]のこと。

このような抽象的な群の概念を導入することによって、[[物理学]]や[[化学]]における[[結晶]]や[[分子]]の[[対称性]]を数学的に記述することができる。そのような応用との関係からふつう3次元[[ユークリッド空間]]における変換の範疇で考えることが多い。

==対称操作==
{{main|対称操作}}
正四面体を、ある面の重心を通る垂線の回りに120度回転させてももとの正四面体と区別はつかない。このようにある図形に対して、もとの図形と区別がつかないように移動を行う操作を'''[[対称操作]]'''という。

このような、3次元ユークリッド空間における対称操作には以下の7つの種類がある。
#[[恒等操作]] - 何の移動もしない。
#[[回転操作]] - 図形上のすべての点をある軸(対称軸)に対して回転させる。
#[[鏡映操作]] - 図形上のすべての点をある面(対称面)について面対称に移動させる。
#[[反転操作]] - 図形上のすべての点をある点(対称中心)について点対称に移動させる。
#回映操作 - 図形上のすべての点をある軸(回映軸)に対して回転させた後、その軸に垂直な面について面対称に移動させる。
#回反操作 - 図形上のすべての点をある軸(回反軸)に対して回転させた後、その軸上の一点について点対称に移動させる。
#並進操作 - 図形上のすべての点を平行移動させる

この中で並進操作以外では少なくとも1つの点が不動点となる。恒等操作では図形上のすべての点が、回転操作では回転軸上の点が、鏡映操作では鏡映面上の点が、反転操作では対称中心が、回映操作では回映軸上の1点が、回反操作では回反軸上の1点が不動点となっている。

それぞれの操作を特徴付けている対称軸、対称面、対称中心、回映軸、回反軸は'''対称要素'''とよばれる。

==点群==
同じ図形に関するふたつの対称操作''a'' と''b'' との[[積]]''a×b'' を、考えている図形に対し''a'' に続いて''b'' を施してえられる対称操作と定義する。そうすると、ある図形の並進操作以外の対称操作の集合は次のように[[群]]の公理を満たしている。

#結合法則 : 任意の操作''a , b , c'' について''(a×b)×c = a×(b×c)''が成立。
#単位元 : 任意の操作''a''が恒等操作''e''について'''a×e = e×a = a'''となるような''e''が存在する。
#逆元 : 任意の操作''a''に対し、''a×a-1 = a-1×a = e''となる''a-1''が必ず存在する。

この群のことを与えられた図形の'''点群'''という。よって対称性や対称操作について数学的に分析するには、[[群論]]の知識を用いて行うことができる。

例えば底面が正三角形の三角錐（正四面体ではない）では、頂点から底面に下ろした垂線は3回軸である。また、この垂線と三角錐の稜線を含む面（3つある）は鏡映面である。したがって、この図形では、対称操作として、恒等操作、120度時計回りの回転操作、120度反時計回りの回転操作、3つの鏡映操作が可能である。この6つの対称操作が群をつくることは、どの2つの連続操作も1つの操作で表現されることからわかる。

== 点群を記述する方法 ==
点群を記述するのには以下の2つの方法がある。
* [[シェーンフリース記号]]：物理学や化学で用いられる。
* [[ヘルマン・モーガン記号]]（国際記法）：結晶学で用いられる。
例えば底面が正三角形の三角錐の点群はシェーンフリース記号では C3v、ヘルマン・モーガン記号では 3m と表記される。

== 点群の既約表現 ==
{{main|群の表現|大直交性定理}}
点群の対称操作の間の掛算関係に対応した関係をもつ行列を、その点群の'''表現行列'''といい、これらの対称操作に対応する一組の行列を、その点群の'''表現'''と呼ぶ。対称性という抽象的なものの集まりである点群は一見すると捉えどころがないように見えるので、それを目に見える具体的な形にする手段が「表現」である。一般にある１つの点群について、いくつもの表現が可能である。表現行列の性質は、その[[指標表|指標]]([[トレース]])によって特徴づけられる。指標をまとめて表にしたものを'''[[指標表]]'''と呼ぶ。

ある表現がより簡単な表現に分解することができる場合、その表現を'''可約表現'''と呼ぶ。これ以上は分解できない表現を'''[[既約表現]]'''と呼ぶ。可約表現から既約表現への[[直和]]分解(簡約)は、適当な[[相似変換]]によって行うことができる。なお相似変換をしても指標は変化しない。

考えている系がある対称性をもつ場合、その系の様々な特性は、最も基本的なものを合わせることで構成されていると考えられる。点群という数学的手法で対称性を取り扱うことで、その対称性における最も基本的なもの（既約表現）は何かを知ることができる。

点群の既約表現を表す記号には３通りある。
*[[ベーテ記号]]
::いつでも''Γ ''と書き、その下に添字として一連の番号をつける方法。
*[[マリケン記号]]
::[[群の表現|表現]]の次元数によって記号を変える。１次元の既約表現ならば''A ''もしくは''B'' 、2次元ならば''E'' 、3次元ならば''T'' とする。必要に応じてこれらに適当な添字をつける。
*[[BSW記号]]（Bouckaert-Smoluchowski-Wigner記号）
::[[固体物理学]]においてよく用いられる。

== 結晶点群・空間群 ==
正五角形で平面を埋め尽くすことはできない。例えば72度回転する回転操作は並進操作とは両立しない。このように点群の中で並進操作と両立するものは限られており、3次元の場合は32種しか存在しない。

結晶においては並進操作が成り立たなければならないから、この32種の結晶に許される点群を特に'''結晶点群'''という。

結晶点群に含まれる対称操作に並進操作を加えた場合も群を作る。これは'''[[空間群]]'''と呼ばれる。空間群は全部で230種類ある。

==点群の応用例==
* [[結晶]]の対称性
* 分子の電子状態：[[分子軌道法]]、[[混成軌道]]、[[ヒュッケル法]]
* [[結晶場理論]]、[[配位子場理論]]
* [[分子振動]]：[[赤外吸収スペクトル]]、[[ラマンスペクトル]]

== 関連項目 ==
* [[結晶群]]
* [[大直交性定理]]

==参考文献==
<references/>
* {{cite book|和書|title=正20面体と5次方程式|author=フェリクスクライン|translator=関口次郎、前田博信|year= 1997 |publisher=シュプリンガー・フェアラーク東京|id=ISBN 978-4431706922}}
* {{cite book|和書|title=物質の対称性と群論|author=今野豊彦|year=2001|publisher=共立出版|id=ISBN 978-4320034099}}

{{DEFAULTSORT:てんくん}}
[[Category:結晶学]]
[[Category:分子]]
[[Category:群論]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:対称性]]

点群 - 版の履歴

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