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2013-04-29T07:14:49Z

2次曲線（円錐曲線）の接線

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[[Image:Tangent to a curve.svg|thumb|right|200px|曲線とその接線（赤線）の例。赤い点は接点である。]]
'''接線'''（せっせん、tangential line）とは、曲線に対して次の定義を満たす[[直線]]のことである。古くは切線とも書かれた。

== 定義 ==
[[曲線]]上の[[点]] P における接線とは、P と異なる曲線上の点 Q を取り、Q を P に近付けたときに直線 QP が近付く直線のことである。このとき点 P を'''接点'''と呼ぶ。接線は存在するとは限らない。

== 微分法による接線の方程式 ==
曲線の方程式が[[微分法|微分]]可能ならば、接線が存在する。

=== 座標平面上の関数 ===
[[直交座標系#平面上の直交座標系|座標平面]]上の微分可能な関数 ''C'' : ''y'' = ''f''(''x'') 上の ''x'' = ''a'' における[[微分法|微分係数]] ''f' ''(''a'') は
:<math>f'(a)=\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}</math>
で与えられる。これが点 P(''a'', ''f''(''a'')) における接線（''L'' とする）の[[傾き (数学)|傾き]]である。

したがって、接線 ''L'' の方程式は、
:<math>y-f(a)=f'(a)(x-a)</math>
で与えられる。

（例）

放物線 ''y'' = ''f''(''x'') = ''x''{{sup|2}} 上の点 (−1, 1) における接線の方程式は、''f' ''(−1) = −2 であるから、
:''y'' − 1 = −2(''x'' + 1)
すなわち ''y'' = −2''x'' − 1 である。

=== 媒介変数表示曲線 ===
平面曲線 ''C'' : ''x'' = ''f''(''t''), ''y'' = ''g''(''t'') が ''t'' = ''a'' で微分可能ならば、[[微分法|導関数]]は
:<math>\frac{dy}{dx} =\frac{dy}{dt} /\frac{dx}{dt}</math>
で与えられる。これから同様に接線 ''L'' の方程式が求まる。

一般の ''n'' 次元空間内の曲線 ''C'' : '''x''' =(''x''{{sub|1}}(''t''), …, ''x{{sub|n}}''(''t'')) においては、
:'''v''' =(''x''{{sub|1}}'(''a''), …, ''x{{sub|n}}'' '(''a''))
を'''[[接ベクトル空間|接ベクトル]]'''と呼び、これを[[方向ベクトル]]とする直線の方程式を求めることになる。

=== 微分可能でない場合 ===
微分可能でなくても接線が存在する場合がある。それは微分係数値が ±∞ である場合である。

例えば、''y'' = ''x''{{sup|1/2}} の ''x'' = 0 における微分係数は ∞ である。したがって、原点 (0, 0) における接線は ''x'' = 0 である。

微分係数が ±∞ でもない場合、すなわち右微分係数と左微分係数が異なったり、振動する場合は接線は存在しない。

いわば三角[[屋根]]状に尖った点（'''尖点'''）では、右微分係数と左微分係数が異なる。

例えば、''y'' = |''x''| の ''x'' = 0 における右微分係数は 1、左微分係数は −1 である。

振動する例として、
:<math>y=\left\{ \begin{array}{ll}
x\sin \frac{1}{x} &(x\neq 0)\\
0 &(x=0)
\end{array} \right.</math>
（これは ''x'' = 0 で[[連続]]である）は ''x'' = 0 で微分係数が振動する。

至る所連続かつ微分不可能な例として知られる、[[ワイエルシュトラス関数]]があるが、これも振動する例である。

=== 近似としての観点 ===
接線 ''L'' は接点 P の近傍における、曲線 ''C'' の1次[[近似]]と見なすことができる。接点 P を中心に十分に拡大すると、曲線 ''C'' は限りなく直線 ''L'' に近い。

[[ランダウの記号]]だと
:<math>f(a+\Delta x)=f(a)+f'(a)\Delta x+O(\Delta x)</math>
と表される。

== 円の接線 ==
円の接線は、極限という観点を用いずに、[[初等幾何学]]の観点で比較的簡単に論じることができる。[[中学校|中学]]、[[高等学校|高校]]といった初等数学においては、「円の接線とは、円と1点で交わる直線のことである」と定義されるのが通常であるが、この定義を一般の曲線に当てはめることはできない。

中心 C の円 ''C'' において、円周上の点 P における接線は、直線 CP と点 P で[[直交]]する直線に等しい。
:（証明）
:点 P と異なる円周上の点 Q を取る。
:△CQP は CQ = CP の[[二等辺三角形]]である。ゆえに、
:∠QPC = (1/2)(180° − ∠QCP)
:Q → P のとき ∠QCP → 0° だから、∠QPC → 90°
:これは、直線 QP が直線CP と直交する直線に近付いていくことを示している。（証明終）
このとき線分 CP を'''接点半径'''と呼ぶ。

円 ''C'' の外の点 A を通る接線は2本ある。
:（証明）
:点 A を通る接線の接点を P とする。
:∠APC = 90° であるので、点 P は線分 AC を直径とする円周上にある。
:直径 AC の円と円 ''C'' は2点で交わる。
:したがって、円 ''C'' の外の点 A を通る接線 AP は2本ある。（証明終）
線分 AP の長さ（2つある）を'''接線の長さ'''という。円の接線の長さは等しい。

また、'''接弦定理'''（接線と弦が作る角の定理）も初等幾何学においてよく知られるところである。
{{main|[[円 (数学)]]}}

== 放物線の接線 ==
[[放物線]]の接線はいくつか幾何学的な性質を持つ。

''y'' = ''ax''{{sup|2}} + ''bx'' + ''c'' (''a'' ≠ 0) の ''x'' = ''α'', ''β'' における接線の交点の ''x''座標は <math>\frac{\alpha +\beta}{2}</math> である。

== 双曲線の接線 ==
[[双曲線]]の接線もいくつか幾何学的な性質を持つ。

[[漸近線]]の交点を O、接点を T、接線と漸近線の交点を P, Q とすると、
*T は線分 PQ の中点である
*△OPQ の面積は T の位置に依らず一定である

== 2次曲線（円錐曲線）の接線 ==
[[円錐曲線|2次曲線（円錐曲線）]]は、[[グラフ (関数)|グラフ]]が点や直線であるものを除くと、[[楕円]]、[[放物線]]、[[双曲線]]に限られる。''C'' はこれらのいずれかであるとし、点 P における接線を ''L'' とする。2つの焦点を F, F' とする（放物線の場合は1つを無限遠点と考えることにする）と、次の性質が成り立つ。
#''C'' が楕円ならば、''L'' は ∠FPF' の外角を2等分する。
#''C'' が放物線ならば、''L'' は ∠FPF' の内角・外角を2等分する。
#''C'' は双曲線ならば、''L'' は ∠FPF' を2等分する。
この性質は[[パラボラアンテナ]]に利用されている。

== 正弦曲線の接線 ==
[[三角関数|正弦]]の定義により
:''x'' ≒ 0 ならば sin ''x'' ≒ ''x''
が導かれる。これにより、''y'' = sin ''x'' の原点 (0, 0) における接線の式は、''y'' = ''x'' と分かる。

なお、[[平均値の定理]]を用いることで[[誤差]]を評価することもできる。

== 指数関数の接線 ==
''a'' は 1 でない正の数とする。[[指数関数]] ''y'' = ''a{{sup|x}}'' の接線においては、
:<math>\lim_{h\to 0} \frac{a^h -1}{h} =\log a</math>
が基本的である。これは ''x'' = 0 における微分係数に等しい。

これから、導関数の定義より
:<math>y'=a^x \log a</math>
である。

ここで log は'''[[ネイピア数]]''' <math>e=\lim_{t\to 0} (1+t)^{\frac{1}{t}}</math> を底とする対数（'''[[自然対数]]'''）である。
{{main|ネイピア数|自然対数}}

== 対数関数の接線 ==
[[逆関数]]の微分法と指数関数の微分法より、<math>y=\log_a x</math> の導関数
:<math>y'=\frac{1}{x\log a}</math>
が導かれる。指数関数の微分法を仮定しないでこれを導くことも可能である。その場合、指数関数の微分法を逆関数の微分法から導くことになる。

== アステロイドの接線 ==
[[アステロイド (曲線)|アステロイド]] <math>x^{\frac{2}{3}} +y^{\frac{2}{3}} =a^{\frac{2}{3}}</math> (''a'' > 0) の接線が ''x''軸、''y''軸によって切り取られる線分の長さは一定（長さ ''a''）である。
{{main|アステロイド (曲線)}}

== 関連項目 ==
*[[法線]]（[[接点]]を通り接線に[[垂直]]な[[直線]]）
*[[包絡線]]
*[[微分法]]
*[[接ベクトル空間]]

{{DEFAULTSORT:せつせん}}
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[[Category:幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]

接線 - 版の履歴

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