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同値 - 版の履歴
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114.152.162.176: 「例」を、「論理演算としての ⇔ 」 の例としてより適切なものに変更
2014-08-15T20:41:43Z
<p>「例」を、「論理演算としての ⇔ 」 の例としてより適切なものに変更</p>
<p><b>新規ページ</b></p><div>{{otheruses|命題の同値性|同値関係における同値|同値関係}}<br />
{{redirect|iff|その他のIFF|IFF}}<br />
<br />
'''同値'''（どうち）または'''等価'''（とうか）とは、2つの[[命題]]が共に[[真]]または共に[[偽]]のときに真となる[[論理演算]]である。<br />
<br />
[[英語]]ではequivalence ('''EQ''')。「if and only if」を略して、'''iff'''ともいう。'''否定排他的論理和''' ('''XNOR''') に等しい。<br />
<br />
[[演算子]]記号は ⇔、&#x2194;、≡、=、EQ などが使われる。<br />
<br />
== 性質 ==<br />
同値の基本的な性質は以下のとおり。<math>\Rightarrow</math>は[[論理包含演算|論理包含]]（ならば）、<math>\land</math>は[[論理積]]（かつ）。<br />
* 反射律: <math>p \Leftrightarrow p</math><br />
* 対称律: <math>(p \Leftrightarrow q) \Rightarrow (q \Leftrightarrow p)</math><br />
* 推移律: <math>\{(p \Leftrightarrow q) \land (q \Leftrightarrow r)\} \Rightarrow (p \Leftrightarrow r)</math><br />
他にも次のような性質がある。<math>\lnot</math>は[[否定]]、<math>\veebar</math>は[[排他的論理和]]。<br />
* 反対称律: <math>\{(p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)\} \Rightarrow (p \Leftrightarrow q)</math><br />
* <math>(p \Leftrightarrow q) \Leftrightarrow \lnot (p \veebar q)</math><br />
<br />
=== 真理値表 ===<br />
{|class="wikitable" style="text-align:center"<br />
!命題 ''P''!!命題 ''Q''!!''P'' ⇔ ''Q''<br />
|-<br />
|真||真||'''真'''<br />
|-<br />
|真||偽||'''偽'''<br />
|-<br />
|偽||真||'''偽'''<br />
|-<br />
|偽||偽||'''真'''<br />
|}<br />
<br />
== 概要 ==<br />
''p'' ⇒ ''q'' が真であるとき、<br />
{{Indent|''p'' は ''q'' である為の'''十分条件'''である、}}<br />
{{Indent|''q'' は ''p'' である為の'''必要条件'''である}}<br />
などという。 ''p'' ⇔ ''q'' が真であるとき、「 ''p'' は ''q'' である為の'''必要十分条件'''である 」、「 ''p'' と ''q'' とは'''同値'''である 」などという。<br />
<!--<br />
ここで言っている「十分」や「必要」の意味だが、身近な使用例としては、<br />
:'''P''' 花子さんの数学の偏差値は65である。<br />
:'''Q''' 数学の偏差値60以上でA大学に入れる。<br />
という2つの命題があるとき、花子さんの偏差値は65なのでA大学に入れることになるので ''P'' ⇒ ''Q'' である。このとき、<br />
:花子さんの偏差値 ('''''P''''') は、A大学に入る条件 (''Q'') を'''十分'''満たしている。<br />
:A大学に入る ('''Q''') には、花子さんが入れるため (''P'') に最低限'''必要'''なランクである。<br />
となる。--><br />
<br />
なお[[数学]]で、ある集合の2つの元が[[同値関係]]にあるとき、それらは互いに「同値である」と言うことがあるが、それとは区別すべきものである。ただし、2つの命題が同値であるという "関係" は同値律を満たすので "命題の全体" における "同値関係" になっている。<br />
<br />
== 例 ==<br />
⇒ と ⇔ の真理値表を用いて、 ( ''p'' ⇔ ''q'' ) ⇒ ( ''q'' ⇔ ''p'' ) が真であることを示そう。 '''''p'' が真で ''q'' も真である場合'''、 ⇔ の真理値表より ''p'' ⇔ ''q'' と ''q'' ⇔ ''p'' とは共に真であるから、 ⇒ の真理値表より ( ''p'' ⇔ ''q'' ) ⇒ ( ''q'' ⇔ ''p'' ) は真である。 '''''p'' が真で ''q'' が偽である場合'''、 ⇔ の真理値表より ''p'' ⇔ ''q'' と ''q'' ⇔ ''p'' とは共に偽であるから、 ⇒ の真理値表より ( ''p'' ⇔ ''q'' ) ⇒ ( ''q'' ⇔ ''p'' ) は真である。 '''''p'' が偽で ''q'' が真である場合'''、 ⇔ の真理値表より ''p'' ⇔ ''q'' と ''q'' ⇔ ''p'' とは共に偽であるから、 ⇒ の真理値表より ( ''p'' ⇔ ''q'' ) ⇒ ( ''q'' ⇔ ''p'' ) は真である。 '''''p'' が偽で ''q'' も偽である場合'''、 ⇔ の真理値表より ''p'' ⇔ ''q'' と ''q'' ⇔ ''p'' とは共に真であるから、 ⇒ の真理値表より ( ''p'' ⇔ ''q'' ) ⇒ ( ''q'' ⇔ ''p'' ) は真である。以上より、いずれの場合でも ( ''p'' ⇔ ''q'' ) ⇒ ( ''q'' ⇔ ''p'' ) は真である。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[数理論理学]]<br />
* [[命題]]<br />
* [[同一性]]<br />
<br />
== 外部リンク ==<br />
*{{SEP|necessary-sufficient|Necessary and Sufficient Conditions|[[スタンフォード哲学百科事典]]にある「必要条件と十分条件」についての記事}}<br />
*{{MathWorld|title=Equivalent|urlname=Equivalent}}<br />
*{{MathWorld|title=Iff|urlname=Iff}}<br />
<br />
{{論理演算}}<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:とうち}}<br />
[[Category:数理論理学]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
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