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2014-07-22T23:57:36Z

定義

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{{出典の明記|date=2014年2月}}
[[線型代数学]]における'''内積'''（ないせき、inner product）は、（[[実数|実]]または[[複素数|複素]]）[[ベクトル空間]]上で定義される非退化かつ正定値の[[対称双線型形式]]（実の場合）あるいは'''エルミート半双線型形式'''（複素の場合）のことである。二つの[[ベクトル空間|ベクトル]]に対してある数（[[スカラー]]）を定める[[二項演算|演算]]であるため'''スカラー積'''（スカラーせき、scalar product）ともいう。内積を備えるベクトル空間は[[内積空間]]と呼ばれ、内積の定める[[距離函数|計量]]を持つ幾何学的な空間と見做される。エルミート半双線型形式の意味での内積はしばしば、'''エルミート内積'''または'''ユニタリ内積'''と呼ばれる。

== 定義 ==
{{See also|半双線型形式}}

[[複素数]]体 '''C''' 上の[[ベクトル空間]] ''V'' に対して、[[写像]] {{math|&lang;,&rang;: ''V'' × ''V'' → '''C'''}} が
* 第二変数に関する線型性: &lang;''x'', α''y'' + ''z''&rang; = α&lang;''x'', ''y''&rang; + &lang;''x'', ''z''&rang;
* エルミート対称性: &lang;''x'', ''y''&rang; = {{overline|&lang;''y'', ''x''&rang;}}
を満たす（ここで上付きのバー {{overline| }} は複素共役を表す）とき、'''対称半双線型形式''' (''symmetric sesquilinear form'') あるいはエルミート半双線型形式（または単に'''エルミート形式'''）であるという。エルミート形式において、第一変数に関しては
* 共軛線型性: &lang;α''x'' + ''y'', ''Z''&rang; = {{overline|α}}&lang;''x'', ''y''&rang; + &lang;''x'', ''z''&rang;
が成り立つから、エルミート形式は[[半双線型形式]]である。実ベクトル空間の場合には（複素共軛をとる操作は自明となるから）上記の条件は {{math|&lang;,&rang;: ''V'' × ''V'' → '''R'''}} が[[対称双線型形式]]であることを意味するものになる。ベクトル空間 ''V'' とエルミート形式 {{math|&lang;,&rang;}} との組 {{math|(''V'', &lang;,&rang;)}} を'''エルミート空間'''と呼ぶこともある。

任意の有限次元複素ベクトル空間または複素[[ヒルベルト空間]]における'''内積'''は、
* {{仮リンク|退化双線型形式|label=非退化性|en|Degenerate form}}: ''V'' の元 ''x'' に対して &lang;''x'', ''x''&rang; = 0 ならば ''x'' = 0.
* [[定符号二次形式|正定値性]]: ''V'' の任意の元 ''x'' に対して &lang;''x'', ''x''&rang; ≥ 0.
を満たす。即ち内積は非退化正定値エルミート形式である。

実ベクトル空間上の'''内積'''は非退化正定値[[対称双線型形式]]である。

== 注意 ==
文献によっては、エルミート内積および[[半双線型形式]]は第二引数に関して線型、従って第一引数に関して共軛線型とするもの（特に[[物理学]]や[[行列環]]に関するもの）と、それとは逆に第一引数に関して線型、第二引数に関して共軛線型とするものがある。前者の分野においては、上記の内積 {{math|&lang;''x'',''y''&rang;}} を（[[量子力学]]における[[ブラケット記法]]で）{{math|&lang;''y'' {{!}} ''x''&rang;}} と書いたり、（[[点乗積]]を[[行ベクトル]] {{math|''A''}} と[[列ベクトル]] {{math|''B''}} との[[行列の積]] {{math|''AB''}} と見て）{{math|''y''&dagger;''x''}} などと書くことも多い。ここでは、ケットベクトルと列ベクトルはベクトル空間 {{math|''V''}} のベクトルと同一視され、ブラベクトルと行ベクトルは[[双対空間]] {{math|''V''∗}} の{{仮リンク|双対ベクトル|en|dual vector}} あるいは[[線型汎函数]]と同一視され、複素共軛は双対性と関連付けられる。また現在ではより抽象的な文脈においてもこの {{math|&lang;''x'',''y''&rang;}} が（{{math|''y''}} に関してではなく）{{math|''x''}} に関して共軛線型とする定義を採用するものが時折みられる<ref>{{cite book|last=Emch|first=Gerard G.|title=Algebraic methods in statistical mechanics and quantum field theory|year=1972|publisher=[[Wiley-Interscience]]|location=New York|isbn=978-0-471-23900-0}}</ref>。また、いくつかの文献で妥協点として {{math|&lang;,&rang;}} と {{math|&lang;{{!}}&rang;}} を両方使い、それぞれどちらの引数に関して共軛線型なのかを区別するものとして扱うものがある。

場合によっては、非負の「半定値」半双線型形式を考える必要があることがある。つまり、{{math|&lang;''x'', ''x''&rang;}} は非負であることのみが要求され、非退化でないものも考えるということである（後述）。

== 基本性質 ==
エルミート対称性に注意すれば、任意の {{math|''x''}} に対して
: <math>\langle x,x \rangle = \overline{\langle x,x \rangle}</math>
ゆえ、これは実数値である。さらに半双線型性により
: <math> \langle -x,x \rangle= -1\langle x,x\rangle = \overline{-1}\langle x,x\rangle = \langle x,-x\rangle</math>
が成り立つ。

線型性により、「{{math|''x'' {{=}} 0}} ならば {{math|&lang;''x'',''x''&rang; {{=}} 0}}」が成り立ち、また非退化性はその逆「{{math|&lang;''x'',''x''&rang; {{=}} 0}} ならば {{math|''x'' {{=}} 0}}」を言うものであるから、これらを合わせて、{{math|&lang;''x'',''x''&rang; {{=}} 0 ⇔ ''x'' {{=}} 0}} を得る。

内積の半双線型性を用いれば、平方展開
: <math>\langle x + y,x + y\rangle = \langle x,x\rangle + \langle x,y\rangle + \langle y,x\rangle + \langle y,y\rangle = \langle x,x\rangle + 2\Re\langle x,y\rangle + \langle y,y\rangle</math>
が成り立ち、特に係数体が {{math|'''R'''}} の場合には内積は対称だから、
: <math>\langle x \pm y,x \pm y\rangle =\langle x,x\rangle \pm 2\langle x,y\rangle + \langle y,y\rangle</math>
を得る。また線型性においてスカラーについて特に考えないとき
: <math>\begin{align}
\langle x+y,z\rangle &= \langle x,z\rangle+ \langle y,z\rangle,\\
\langle x,y+z\rangle &= \langle x,y\rangle + \langle x,z\rangle
\end{align}</math>
が成り立つが、これは[[分配法則|分配性]]あるいは'''加法性'''（双加法性）とも呼ばれる。

== 例 ==
; {{math|'''R'''''n''}} における内積
: 実 {{math|''n''}}-次元[[数ベクトル空間]] {{math|'''R'''''n''}} において、任意の二元 {{math|''x'' = (''x''1, ''x''2, …, ''x''''n''), ''y'' = (''y''1, ''y''2, …, ''y''''n'')}} に対し、
:: <math> \langle x,y \rangle := x^{\top}y = \sum_{i=1}^{n} x_iy_i</math>
:（右肩の {{math|⊤}} は行列の[[転置行列|転置]]をとる意で、中辺は行列としての積）とすると、この {{math|&lang;·, ·&rang;}} は（[[定符号二次形式|正定値]]な）内積の性質を満たす。これを、{{math|'''R'''''n''}} の'''標準内積'''と呼ぶ。また、{{math|''n''}} 次の（[[定符号行列|正定値]]）対称行列 {{math|''A''}} を用いて
:: <math> \langle x,y \rangle_A := x^{\top}Ay</math>
: とおくと、これも（正定値）内積の性質を満たす。
; {{math|'''C'''''n''}} における内積
: 複素 {{math|''n''}}-次元数ベクトル空間 {{math|'''C'''''n''}} において、任意の二元 {{math|''x'' = (''x''1, ''x''2, …, ''x''''n''), ''y'' = (''y''1, ''y''2, …, ''y''''n'')}} に対し、
:: <math> \langle x,y \rangle := \bar{x}^{\top}y = \sum_{i=1}^{n} \bar{x}_i y_i</math>
: とすると、この {{math|&lang;·, ·&rang;}} はエルミート内積の性質を満たす。また、{{math|''n''}} 次の（正定値）エルミート行列 {{math|''H''}} を用いて
:: <math> \langle x,y \rangle_A := \bar{x}^{\top}Hy</math>
: とおくと、これも（正定値）エルミート内積の性質を満たす。
; 対称行列の空間 {{math|'''S'''''n''×''n''}} における内積
: {{math|''n''}} 次[[対称行列]]の空間 {{math|'''S'''''n''×''n''}} について、{{math|''X'', ''Y'' ∈ '''S'''''n''×''n''}} に対して
:: <math> \langle X,Y \rangle := \mathrm{Tr}(XY)</math>
: と取ると、これは内積を与える。
; {{math|''L''2(Ω)}} における内積
: {{math|Ω}} をユークリッド空間の開集合とする。{{math|Ω}} 上の二乗可積分な関数全体の成す集合を関数が[[ほとんど (数学)|ほとんど至る所等しい]]（[[測度論|測度]]零の集合上でとる値を除いて等しい）という[[同値関係]]で割って得られる空間 [[ルベーグ空間|{{math|''L''2(Ω)}}]] には、二乗可積分関数 {{math|''f'', ''g''}} について
:: <math> \langle f,g \rangle := \int_{\Omega}f(x)\overline{g(x)}dx</math>
: と置いて、エルミート内積が定まる。より一般に、{{math|(Ω, ''F'', μ)}} を[[測度空間]]とすると、{{math|''L''2(Ω, μ)}} の二元 {{math|''f'', ''g''}} について
:: <math> \langle f,g \rangle := \int_{\Omega}f(x)\overline{g(x)}d{\mu}(x)</math>
: と置いたものはエルミート内積の性質を満たす。

== 内積の幾何学性 ==
一つのベクトル空間に定義される内積は一つとは限らない。また、ある内積 {{math|&lang;·, ·&rang;}} に対して
: <math> \left\| x \right\| := \sqrt{ \left\langle x, x \right\rangle} </math>
と定めると、1 つの[[ノルム]] {{math|ǁ·ǁ}} が定義できる（これを'''内積が定めるノルム'''と呼ぶ）。ノルムは与えられた内積ではかった "ベクトルの大きさ" であり、
: <math>\cos\theta = \frac{\left\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \right\rangle}{\left\| a \right\|\left\| b \right\|}</math>
とおくことで、二つの[[ベクトルのなす角]]が定められる。この意味で内積はベクトル空間に[[距離函数|計量]] (metric) を定めるという。

こうして定義されたノルムについては、次の幾何学的な性質を表す'''[[中線定理]]'''が成り立つ。
:<math>\left \| x+y \right \| ^2 + \left \| x-y \right \| ^2= 2( \left \| x \right \| ^2 + \left \| y \right \| ^2 )</math>

また、さらに内積で定めたノルムと内積について、次の関係式が成り立つ。
実数体'''R'''上の内積空間の元''x'', ''y''に対して、
:<math>\langle x,y \rangle =\frac{1}{4} \{\left \| x+y \right \| ^2 - \left \| x-y \right \| ^2 \}</math>
もしくは複素数体'''C'''上の内積空間の元''x'', ''y''に対して、
:<math>\langle x,y \rangle =\frac{1}{4} \{(\left \| x+y \right \| ^2 - \left \| x-y \right \| ^2)+i(\left \| x+iy \right \| ^2 - \left \| x-iy \right \| ^2) \} \quad i=\sqrt{-1}</math>
この関係式を'''分極公式'''、または'''偏極公式''' (polarization identity) という。

このように、内積はベクトル空間の[[代数学|代数的な性質]]と[[幾何学|幾何的な性質]]の橋渡しをするものである。詳細については'''[[計量ベクトル空間]]'''の項を参照されたい。

== 一般化 ==
内積の公理を適当に弱めることにより、内積を一般化する概念を考えることができる。

=== 退化内積（半内積） ===
内積と最も関連性の高い一般化は、双線型性や共軛対称性はそのままに、正定値性に関する要請を弱めるものである。ベクトル空間 {{math|''V''}} とその上の半正定値[[半双線型形式]] {{math|&lang;,&rang;}} に対して、写像
: <math> \|x\| = \sqrt{\langle x, x\rangle}</math>
は意味を持ち、{{math|ǁ''x''ǁ {{=}} 0}} が {{math|''x'' {{=}} 0}} を導かないこと以外はノルムの性質をすべて満足する（このような汎函数は{{仮リンク|半ノルム|en|semi-norm}}と呼ばれる）。[[商線型空間]] {{math|''W'' {{=}} ''V''/{''x'' : ǁ''x''ǁ {{=}} 0}}} を考えると、半双線型形式 {{math|&lang;,&rang;}} は {{math|''W''}} 上の内積を誘導する。

このような内積空間の構成法は様々な場面で用いられ、特に重要な例は{{仮リンク|ゲルファント-ナイマーク-ジーゲル構成|en|Gelfand–Naimark–Segal construction}}である。ほかにも任意の集合上の{{仮リンク|マーサーの定理|en|Mercer's theorem|label=半正定値核函数}}の表現などが例に挙げられる。

=== 非退化共軛対称形式（不定値内積） ===
{{Main|{{仮リンク|擬ユークリッド空間|en|Pseudo-Euclidean space}}}}
別な方向での一般化は、（正定値性を落として）対付ける写像が単に{{仮リンク|非退化双線型形式|en|nondegenerate form}}であるようにするものである。これは各非零元 {{math|''x''}} は適当な {{math|''y''}} を取って {{math|&lang;''x'', ''y''&rang; ≠ 0}} とすることが（{{math|''y'' {{=}} ''x''}} でなくてもいいから）できるということであり、即ち[[双対空間]]に引き起こされる写像 {{math|''V'' → ''V''&lowast;}} が単射ということである。この一般化は[[微分幾何学]]で重要である。[[リーマン多様体]]は各接空間が内積を持つ多様体であるが、これを弱めて非退化共軛対称形式を持つ場合を考えたものは[[擬リーマン多様体]]である。{{仮リンク|シルベスターの慣性法則|en|Sylvester's law of inertia}}によれば、任意の内積がベクトルの集合上の正値荷重を持つ点乗積に相似であるのと同様に、任意の非退化共軛対称形式はベクトルの集合上の非零荷重を持つ点乗積に相似になり、またこのとき正および負の荷重の個数はそれぞれ正および負の指数と呼ばれる。[[ミンコフスキー空間]]におけるベクトルの積は「不定値内積」の例だが、技術的な言い方をすれば、これは上で述べた標準的な定義に従う「内積」ではない。ミンコフスキー空間は実[[四次元]]で、各符号 ({{math|±}}) の指数は 3 および 1 （符号数 (3,1)）である。

（正定値性に触れない）純代数的な主張はふつう非退化性（単射準同型 {{math|''V'' → ''V''&lowast;}}) のみに依存して決まり、ゆえにより一般の状況においても成立する。

== 関連のある積について ==
「内積」(inner) という語は「[[直積 (ベクトル)|外積]]」(outer) の反対という意味での名称だが、外積は（きっちり反対というよりは）もう少し広い状況で考えることができる。簡単のため座標をとって、内積を {{math|1×''n''}} 「余」ベクトルと {{math|''n''×1}} ベクトルとの[[行列の積|積]]と見るとき、これは {{math|1×1}} 行列（つまりスカラー）を与えるが、外積は {{math|''m''×1}} ベクトルと {{math|1×''n''}} 余ベクトルを掛けて {{math|''m''×''n''}} 行列が得られる。ここで注意すべきは、内積は同じ次元のベクトルと余ベクトルとの積でないといけないが、外積は相異なる次元の余ベクトルとベクトルを掛けることができる点である。次元が同じである場合、内積は外積の[[蹟 (線型代数学)|トレース]]に一致する（トレースがとれるのは正方行列だけなので、次元が異なる場合は考察できない）。

内積あるいはより一般に{{仮リンク|非退化双線型形式|en|nondegenerate form|label=不定値内積}}を持つ（従って同型 {{math|''V'' → ''V''&lowast;}} を持つ）ベクトル空間上では、ベクトルを余ベクトルにすることができる（座標をとって考えるならば、転置をとることに相当する）から、内積および外積は単純にベクトルと余ベクトルとの積ではなくて、ベクトル同士の積として捉えることができる。より抽象的に述べれば、外積はベクトルと余ベクトルとの対を階数 {{math|1}} の線型写像へ写す双線型写像 {{math|''W'' × ''V''&lowast; → Hom(''V'',''W'')}}（すなわち {{math|(1,1)}}-型{{仮リンク|単純テンソル|en|simple tensor}}）であり、内積は余ベクトルのベクトルにおける値を評価する双線型な評価写像 {{math|''V''&lowast; × ''V'' → ''F''}} である。ここで、各写像の定義域において直積をとる順番は、余ベクトルとベクトルとの区別を反映していることに注意。

上記の内積と外積に対して、混同するべきではないがよく似た積として{{仮リンク|内部積|en|interior product}} (interior) と[[外積代数|外（部）積]] (exterior) というのが、[[ベクトル場]]や[[微分形式]]に対する、あるいはより一般に[[外積代数]]における演算として定義される。さらにややこしいことに、{{仮リンク|幾何代数|en|geometric algebra}}において、内積 (inner) と[[グラスマン積|（グラスマン）外積]] (exterior) は幾何積（{{仮リンク|クリフォード線型環|en|Clifford algebra}}におけるクリフォード積）に統合される（内積は二つのベクトル (1-階ベクトル) をスカラー (0-階ベクトル) へ写し、外積は二つのベクトルを二重ベクトル (2-階ベクトル) へ写す）。そしてこの文脈においてグラスマン積はふつうは「外積」(outer)（あるいは[[ウェッジ積]]）と呼ばれ、またこの文脈での内積は（考える二次形式が必ずしも正定値であることを要求されないという意味では「内積」でないので）スカラー積と呼ぶのが形式上はより適切である。

== 関連項目 ==
* [[計量ベクトル空間]]
* [[ベクトル空間の双対系]]（双対性を表す内積）

== 注釈 ==
<references/>

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=InnerProduct|title=Inner Product}}
* {{MathWorld|urlname=HermitianInnerProduct|title=Hermitian Inner Product}}
* {{PlanetMath|urlname=InnerProduct|title=inner product}}

{{DEFAULTSORT:ないせき}}
[[Category:線型代数学]]
[[Category:位相線型空間]]
[[Category:数学に関する記事]]

内積 - 版の履歴

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