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'''1の冪根'''（いちのべきこん）、または'''1の累乗根'''（いちのるいじょうこん）は、[[数学]]において、[[冪乗]]して 1 になる（冪単である）ような[[数]]のことである。すなわち、ある[[自然数]] ''n'' が存在して
:''z{{sup|n}}'' = 1
となる ''z'' のことである。通常は[[複素数]]の範囲で考えるが、場合によっては [[p進数|''p''-進数]]のような他の数の体系内で考える場合もある。以下では主として複素数の場合について述べる。

自然数 ''n'' に対し、''m'' (< ''n'') 乗しても決して 1 にならず、''n'' 乗して初めて 1 になるような 1 の冪根は ''n'' 乗根として'''原始的'''であるという。自然数 ''n'' を固定せず、1 の原始 ''n'' 冪根あるいは 1 の原始 ''n'' 乗根として得られる数を総称し、'''1の原始冪根'''（いちのげんしべきこん）、または'''1の原始累乗根'''（いちのげんしるいじょうこん）という。

== 1の原始冪根 ==
[[複素数]]の範囲では、1 の原始 ''n'' 乗根は一つではない。[[ド・モアブルの定理]]より、1 の原始 ''n'' 乗根の一つは
:<math>\xi_n =\cos \frac{2\pi}{n} +i\sin \frac{2\pi}{n}</math>
で与えられることが分かる。この時、''ξ{{sub|n}}'' の[[共役複素数]] ''{{overline|ξ}}{{sub|n}}'' も 1 の原始 ''n'' 乗根である。''n'' と互いに素な自然数 ''m'' に対して ''ξ{{sub|n}}{{sup|m}}'' は 1 の原始 ''n'' 乗根であり、''φ''(''n'') 個（[[オイラーのφ関数]]）存在する。

方程式 ''x{{sup|n}}'' = 1 を考える。この[[方程式|方程式の根]]は、ド・モアブルの定理より、
:<math>x=\cos \frac{2\pi k}{n} +i\sin \frac{2\pi k}{n} \quad (0\le k\le n-1)</math>
であるが、1 の原始 ''n'' 乗根 ''ξ{{sub|n}}'' を一つ選べば、
:<math>x= {\xi_n}^k \quad (0\le k\le n-1)</math>
と書くことができる。

また上記のように根を三角関数で表すことは容易であるが、それが根号を用いて表示できること、つまり方程式が代数的にも可解であることはガウスにより証明された。

=== 1の原始冪根の例 ===
以下、''i'' は[[虚数単位]]である。
*''ξ''{{sub|2}} = &minus;1
*<math>\xi_3 =\frac{-1\pm \sqrt{3} i}{2}</math>（[[立方根#性質|しばしば ''ω'' と書かれる]]）
*''ξ''{{sub|4}} = ±''i''

== 性質 ==
* 1 の冪根は全て、[[複素数#ガウス平面|ガウス平面]]における[[単位円]]上にある。また概要で述べたことは 1 の ''n'' 冪根の全体が位数 ''n'' の[[巡回群]]となることを示している。
* ''a'' を複素数とするとき、''a'' の ''n'' 乗根を任意に一つ選んで {{sup|''n''}}√{{overline|''a''}} と記せば、1 の ''n'' 乗根に各々 {{sup|''n''}}√{{overline|''a''}} を掛けたものが複素数係数の方程式 ''x{{sup|n}}'' &minus; ''a'' = 0 の根の全体となる。
* 1 の ''n'' 乗根をガウス平面上に表し、線分で結ぶと単位円に内接する[[正多角形|正 ''n'' 角形]]となる。これは 1 以外の 1 の原始 ''n'' 乗根の一つを ''ξ{{sub|n}}'' として以下の式が成り立つことと同じである：
:<math>\sum_{k=0}^{n-1} \xi_n^k =1+\xi_n +{\xi_n}^2 +\cdots +{\xi_n}^{n-2} +{\xi_n}^{n-1} =0</math>

== 関連項目 ==
*[[冪根]]
*[[代数的数]]
*[[円分多項式]]
*[[円分体]]

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[[Category:代数的数]]
[[Category:群論]]
[[Category:数学に関する記事|/1いちのへきこん]]