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{{物理量 | 名称 = | 英語 = area | 画像 = | 記号 =''S'', ''A'' | 次元 =''[[長さ|L]]'' {{sup|2}} | 階 =スカラー | SI = [[平方メートル]] (m{{sup|2}}) | CGS = [[平方センチメートル]] (cm{{sup|2}}) | MTS = | FPS = [[平方フィート]] (ft{{sup|2}}) | MKSG = | CGSG = | FPSG = | プランク = [[プランク面積]] (''l''{{sub|P}}{{sup|2}}) | 原子 = }} '''面積'''(めんせき)とは、平面内の、あるいは曲面内の図形の大きさ、広さ、の[[量]]である。[[立体]]物の表面の面積の合計を特に'''[[表面積]]'''(ひょうめんせき)と呼ぶ。 == 面積の単位 == * m²([[平方メートル]]、平米(へいベい)とも) - [[SI組立単位]] * [[アール (単位)|アール]] - 100 m² * [[ヘクタール]] - 10,000 m² * km²([[平方キロメートル]]) - 1,000,000 m² === 古い[[イギリス]]の単位 === 今日では以下のように定義されている。 * 平方フィート - 0.09290304 m² * 平方ヤード - 9 平方フィート - 0.83612736 m² * 平方パーチ - 30.25 平方ヤード - 25.2928526 m² * [[エーカー]] - 160 平方パーチまたは 43,560 平方フィート - 4,046.8564224 m² * 平方マイル - 640 エーカー - 2.5899881103 km² === 古い日本の単位 === * 勺(しゃく) - 0.033058 m²(体積の単位の勺とは別) * [[合]](ごう) - 10 勺 - 0.33058 m²(体積の単位の合とは別) * [[坪]](つぼ)・歩(ぶ) - 10 合 - 3.30579 m² * [[畝 (単位)|畝]](せ) - 30 坪 - 99.17355 m² * 段・[[反]](たん) - 10 畝 - 991.7355 m² * [[町 (単位)|町]](ちょう)・町歩(ちょうぶ) - 10 段 - 9,917.355 m² * 尺坪(しゃくつぼ) - 0.09183 m² * 帖・[[畳]](じょう) - 0.5 坪 - 1.6528926 m² * [[方丈]](ほうじょう) - 9.182736453 m² === その他の単位 === * [[ドゥナム]] * [[甲 (単位)|甲]] * [[バーン (単位)|バーン]] == 面積を求める公式 == === 平面 === [[Image:Area.svg|right|201px]] {{Wikibooks|初等数学公式集#面積|公式集}} 基本的な面積を計算する公式をいくつか示す。 *[[正方形]]: ''a''{{sup|2}}(''a'' = 一辺の長さ) *[[長方形]]: ''ab''(''a'' = 縦の長さ、''b'' = 横の長さ) *[[菱形]]: {{sfrac|1|2}}''ab''(''a'', ''b'' は2つの[[対角線]]の長さ) *[[台形]]: {{sfrac|1|2}}(''B'' + ''b'')''h''(''B'', ''b'' は上底、下底の長さ、''h'' = 高さ) *[[平行四辺形]]: ''ah''(''a'' = 底辺の長さ、''h'' = 高さ) *平行四辺形: |'''A''' × '''B'''| = |'''A'''||'''B'''|sin ''θ''('''A''', '''B''' は平行四辺形を張る[[線型結合|独立]]な[[空間ベクトル|ベクトル]]、"×" はベクトルの[[クロス積]](外積)、"| |" はベクトルの大きさ、''θ'' は '''A''' と '''B''' の[[ベクトルのなす角]]) *[[三角形]]: {{sfrac|1|2}}''ah''(''a'' = 底辺の長さ、''h'' = 高さ)、{{sfrac|1|2}}''ab''sin ''θ''(''a''、''b'' = 辺の長さ、''θ'' = 2辺のなす角の大きさ([[ラジアン]] (rad))、[[ヘロンの公式]] *各[[頂点]]の[[座標]]が与えられた[[多角形]]: [[座標法]]を参照 *[[円 (数学)|円]]: {{π}}''r''{{sup|2}}({{π}} = [[円周率]]、''r'' = 半径) *[[扇形]]: {{sfrac|1|2}}''r''{{sup|2}}''θ''(''θ'' = 中心角の大きさ(ラジアン)) *扇形: {{π}}''r''{{sup|2}}''θ''/360(''θ'' = 中心角の大きさ(度)) *扇形: {{sfrac|1|2}}''lr''(''l'' = 弧の長さ (2{{π}}''rθ''/360)) *[[楕円]]: {{π}}''ab''(''a''、''b'' = 半長軸および半短軸の長さ) *[[正多角形]]: {{sfrac|1|2}}''Pa''(''P'' = 周辺の長さ、''a'' = 多角形の辺心距離(中心から辺の中心までの長さ)) *格子[[多角形]]:[[ピックの定理]] *[[アステロイド (曲線)|アステロイド]]曲線に囲まれた部分: {{sfrac|3|8}}{{π}}''a''(アステロイド曲線の方程式 ''x''{{sup|2/3}} + ''y''{{sup|2/3}} = ''a''{{sup|2/3}}) *[[カージオイド]]曲線に囲まれた部分: {{sfrac|3|2}}{{π}}''a''(カージオイド曲線の極方程式 ''r'' = ''a''(1 + cos ''θ'')) === 立体 === 立体の表面積、側面積を求める公式を以下に示す。 *[[立方体]]の表面積: 6''s''{{sup|2}}(''s'' = 一辺の長さ) *[[直方体]]の表面積: 2(''lw'' + ''lh'' + ''wh'')(''l'' = 縦の長さ、''w'' = 横の長さ、''h'' = 高さ) *[[円柱 (数学)|円柱]]の側面積: 2{{π}}''rh''(''r'' = 底面の半径、''h'' = 高さ) *斜切円柱の側面積: {{π}}''r''(''h''{{sub|1}} + ''h''{{sub|2}})(''h''{{sub|1}} = 最大母線の長さ、''h''{{sub|2}} = 最小母線の長さ) *[[円錐]]の側面積: {{π}}''ar''(''a'' = 母線の長さ、''r'' = 底面の半径) *円錐台の側面積: {{π}}''a''(''R'' + ''r'')(''a'' = 母線の長さ、''R'', ''r'' = 両底面の半径、''h'' = 高さ) *円柱の表面積: 2{{π}}''r''(''h'' + ''r'')(''r'' = 底面の半径、''h'' = 高さ) *円錐の表面積: {{π}}''r''(''r'' + ''a'')(''r'' = 底面の半径、''a'' = 母線の長さ) *[[球]]の表面積: 4{{π}}''r''{{sup|2}}(''r'' = 半径) 円以下の公式は、正確には[[積分]]を使って正当化される。さらに幅広い図形についてこの概念を定義するためには、積分を避けて通ることはできない。 == 定義不良な面積 Ill-defined areas == <!--If one adopts the [[選択公理|axiom of choice]], then it is possible to prove that there are some shapes whose area cannot be meaningfully defined; see [[ルベーグ測度|Lebesgue measure]]. Such 'shapes' (they cannot ''a fortiori'' be simply visualised) enter into [[:en:Tarski's circle-squaring problem]] (and, moving to three dimensions, in the [[バナッハ=タルスキーのパラドックス|Banach-Tarski paradox]]). The sets involved will not arise in practical matters. :''以下に上記の訳をしようとして失敗したものを記しておきます。どなたか適切な訳をお願いします。'' --> [[選択公理]]を受け入れると、「意味のある面積を定義できない図形」が存在することを証明できる ([[ルベーグ測度]]を参照)。 このような「図形」(簡単に図示することは出来ない)は[[タルスキーの円積問題]] ([[:en:Tarski's circle-squaring problem]]) に関係している(三次元における類似の例として、「体積の定義できない図形」と[[バナッハ=タルスキーのパラドックス]]がある)。 このような集合は現実の世界では生じない。 == 関連項目 == * [[長さ]] * [[体積]] * [[表面積]] * [[総合幾何学]] * [[面積の比較]] * [[国の面積順リスト]] *[[2D]] == 外部リンク == * [http://www.shurey.com/Soft/JavaScript/DoRyouKou/square.html 度量衡換算(面積)] {{Template:面積の単位}} {{DEFAULTSORT:めんせき}} [[Category:面積|*]] [[Category:初等数学]] [[Category:幾何学]] [[Category:数学に関する記事]] [[Category:物理量]]
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