離心率のソースを表示

[[Image:Eccentricity.svg|thumb|250px|離心率 e の異なる曲線]]
'''離心率'''（りしんりつ）とは、[[円錐曲線]]（二次曲線）の特徴を示す数値のひとつである。

== 定義 ==
円錐曲線、すなわち[[円 (数学)|円]]・[[楕円]]・[[放物線]]・[[双曲線]]はいずれも、'''[[焦点 (幾何学)|焦点]] F からの距離と、[[準線]] d からの距離の比 e が一定'''となる点の集合である。この比 e が離心率である。すなわち、円錐曲線上の任意の点 M について、焦点 F からの距離を FM、準線 d からの距離を MM' と表すと
:<math>e = \frac{FM}{MM'}</math>
となる。円の場合は、楕円での準線を無限遠方においた極限とみなして離心率は0とする。

== 離心率と二次曲線の分類 ==
* 離心率 = 0 … 真円
* 0 < 離心率 < 1 … 楕円
* 離心率 = 1 … 放物線
* 1 < 離心率 … 双曲線

=== 楕円の離心率 ===
楕円の場合、長径を 2a、短径を 2b とすると焦点同士の距離は<math>2 \sqrt{a^2 - b^2}</math>となり
:<math>e = \frac{2 \sqrt{a^2 - b^2}}{2a} = \sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}</math>
である。したがって、楕円形が真円に近いほど離心率は小さな値をとる。

[[扁平率]] を　f とすると、
:<math>f=\frac{a-b}{a}=1-\frac{b}{a}</math>
離心率の２乗　<math>e^2</math>は、
:<math>e^2 = \frac{a^2-b^2}{a^2} = f(2-f) </math>
である。 
[[回転楕円体]]である[[地球]]の離心率は、その定義された[[扁平率]]から、e = 0.081 819 191 042 815 790（近似値）、e^2 = 0.006 694 380 022 900 788（近似値）である。


楕円に限って言えば、''e'' は“第一離心率”と称され、しばしば次のように定義される第二離心率 ''e' '' 及び第三離心率 ''e' ' '' も用いられる。
:<math>e'=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{b^2}}, \quad e''=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}}</math>
第三離心率は、''m'' と表記されることもある。古くは[[:fr:Louis Puissant]]が ''m'' を[[子午線弧#子午線弧長の計算|子午線弧長の計算]]に使用している記述が[[1842年]]の論文中に認められる。

== 関連項目 ==
*[[円錐曲線]]
*[[扁平率]]
*[[軌道離心率]]

== 参考文献 ==
* König, R. and Weise, K. H. (1951): ''Mathematische Grundlagen der höheren Geodäsie und Kartographie'', Band 1, Das Erdsphäroid und seine konformen Abbildungen, Springer-Verlag, Berlin/Göttingen/Heidelberg
* Ганьшин, В. Н. (1967): ''Геометрия земного эллипсоида'', Издательство «Недра», Москва
* Puissant, L. (1842): [http://ia331407.us.archive.org/3/items/traitdegodsie00unkngoog/traitdegodsie00unkngoog.pdf ''Traité de Géodésie; ou, Exposition des Méthodes Trigonométriques et Astronomiques, applicables à la Mesure de la terre, et à la Construction du Canevas des Cartes Topographiques''], 1, Bachelier, Imprimeur-Libraire, Paris, 295-304

{{DEFAULTSORT:りしんりつ}}
[[Category:解析幾何学]]
[[Category:軌道]]
[[Category:数学に関する記事]]