重根 (多項式)のソースを表示

'''重根'''（じゅうこん、[[英語|英称]]：''multiple root''）とは、1 変数[[多項式]] ''f''(''x'') の[[零点|根]]のうち重複度が2以上のもののことをいう。

== 概要 ==
1 変数[[多項式]] ''f''(''x'') が、定数 ''a''&ne;0 ,&alpha;<sub>1</sub>,&alpha;<sub>2</sub>, … &alpha;<sub>''n''</sub> を用いて
:<math>f(x) = a(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)</math>
の形に因数分解され、&alpha;<sub>1</sub>, &alpha;<sub>2</sub>, ..., &alpha;<sub>''n''</sub> の中に 2 つ以上同じ値がある場合、その値を ''f''(''x'') の重根という。

方程式 ''f''(''x'') = 0 の解は一般に
:<math>
\left\{\begin{matrix} y&=&f(x) \\ y&=&0  \end{matrix}\right.
</math>
つまり ''xy''-[[座標系]]において ''y'' = ''f''(''x'') と ''x'' 軸との交点の ''x'' 座標である。 ''f''(''x'')が1変数多項式のとき、 ''y'' = ''f''(''x'') が''x''=&alpha;で ''x'' 軸に接するなら、&alpha;は ''f''(''x'') の重根となる。したがって''f''(''x'')は''x''=&alpha;での微分も0となり、''x''=&alpha;が''f''(''x'') の重根であることと
:<math>
\left\{\begin{matrix} f(\alpha)&=&0 \\ f'(\alpha)&=&0  \end{matrix}\right.
</math>
であることは[[同値]]である。

== 定義 ==
[[体 (数学)|体]] ''K'' 上の多項式 ''f''(''x'') と ''K'' の元 &alpha; に対し、(''x'' - &alpha;)<sup>2</sup> | ''f''(''x'') が成立するとき、すなわち 2 以上の[[自然数]] ''k'' と多項式 ''g''(''x'') で
:<math>f(x)=(x-\alpha)^k g(x)</math>
を満たすものが存在するとき、&alpha; を ''f''(''x'') の'''重根'''という。特に ''g''(''x'') が &alpha; を根に持たないならば、''k'' を根 &alpha; の'''重複度'''（ちょうふくど、''multiplicity''）という。

== 判別式 ==
多項式 ''f''(''x'') の根を &alpha;<sub>1</sub>, &alpha;<sub>2</sub>, ..., &alpha;<sub>''n''</sub> とし、その全体から作られる最簡交代式（差積）の平方
:<math>D_f := \prod_{1\leq i < j\leq n}(\alpha_i -\alpha_j)^2</math>
を多項式 ''f''(''x'') あるいは方程式 ''f''(''x'') = 0 の'''判別式'''（はんべつしき、''discriminant''）という。

これは「代数方程式が重根を持つかどうか」 を判別するための式である。すなわち、判別式が 0 であることとその代数方程式が重根を持つこととが同値となる。このことは判別式を差積に取り替えても変わらない。にもかかわらず差積の平方を判別式とするのは、それが方程式の[[係数]]によって必ず記述できるからである。これは、
# 差積の平方が根に関する[[対称式]]となること、
# [[対称式]]が基本対称式で表すことができること、
# 根の基本対称式が方程式の[[係数]]によって記述されること（[[根と係数の関係]]）
によって保証される。

たとえば、二次方程式 ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'' = 0 の根を &alpha;, &beta; とすると根と係数の関係により
:<math>\alpha + \beta = -\frac{b}{a},</math>
:<math>\alpha\beta = \frac{c}{a}</math>
が成り立ち、判別式すなわち差積の二乗は
:<math>(\alpha - \beta)^2 =
 (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta =
 \left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 4\times\frac{c}{a} =
 \frac{b^2 - 4ac}{a^2}
</math>
となる。''a''<sup>2</sup> &gt; 0 であるので、実用上は分母を掃った ''b''<sup>2</sup> - 4''ac'' を判別式として用いることが多い。

== 関連項目 ==
* [[零点]]

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[[Category:初等数学]]
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