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'''転置行列'''（てんちぎょうれつ、transposed matrix）とは ''m'' 行''n'' 列の[[行列]] ''A'' に対して ''A'' の (''i'', ''j'') 要素と (''j'', ''i'') 要素を入れ替えた ''n'' 行 ''m'' 列の行列、つまり対角線で成分を折り返した行列のことである。転置行列は ''A''<sup>T</sup> や <sup>''t''</sup>''A''、また ''A''<sup>tr</sup> などと表現される。

==例==
:<math>
A = 
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{pmatrix},\quad
B =
\begin{pmatrix}
  a & b & c \\
  d & e & f
\end{pmatrix}

</math>

に対して転置行列 ''A''<sup>T</sup>, ''B''<sup>T</sup> はそれぞれ

:<math>
A^{\mathrm{T}} = 
\begin{pmatrix}
1 & 4 & 7 \\
2 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 9 \\
\end{pmatrix}, \quad
B^{\rm T} =
\begin{pmatrix}
  a & d \\
  b & e \\
  c & f
\end{pmatrix}.
</math>

==性質==
''A'', ''B'' は行列、''k'' はスカラーとして各演算が定義できる限りにおいて次が成り立つ：
* (''A''<sup>T</sup>)<sup>T</sup> = ''A'', (''A'' + ''B'')<sup>T</sup> = ''A''<sup>T</sup> + ''B''<sup>T</sup>, (''AB'')<sup>T</sup> = ''B''<sup>T</sup>''A''<sup>T</sup>, (''kA'')<sup>T</sup> = ''kA''<sup>T</sup>。

* ''n'' 次正方行列 ''A'' の[[トレース (数学)|トレース]]を tr ''A'' とすると tr ''A'' = tr ''A''<sup>T</sup>。
* ''n'' 次正方行列 ''A'' と標準[[内積]] (&middot;, &middot;) に関して (''A'''''x''', '''y''') = ('''x''', ''A''<sup>T</sup>'''y''') が任意の ''n'' 次元ベクトル '''x''', '''y''' に対して成り立つ。

==線形写像との関係==
''m'' &times; ''n'' 行列 ''A'' を ''n'' 次元ベクトル空間 ''V'' から ''m'' 次元ベクトル空間 ''W'' への[[線形写像]] ''f''<sub>''A''</sup> とみなすとき、''A'' の転置行列 ''A''<sup>T</sup> には ''f''<sub>''A''</sub> の転置写像が対応する。すなわち、''A''<sup>T</sup> に対応する ''W'' の[[双対ベクトル空間|双対空間]] ''W''<sup>*</sup> から ''V'' の双対空間 ''V''<sup>*</sup> への線形写像は
:<math>{}^tf_A (\xi) = \xi \circ f_A </math>
(for &xi; &isin; ''W''<sup>*</sup>) によって定義される写像 <sup>t</sup>''f''<sub>''A''</sub>: ''W''<sup>*</sup> &rarr; ''V''<sup>*</sup> である。

==関連項目==
* [[対称行列]]
* [[反傾行列]]
* [[随伴行列]]
* [[反対称行列]]（交代行列、歪対称行列）
* [[直交行列]]

* [[双対ベクトル空間]]

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[[Category:行列]]
[[Category:数学に関する記事]]