調和関数のソースを表示

[[Image:Laplace's equation on an annulus.jpg|right|thumb|300px|円環上で定義された調和関数]]

[[数学]]において、'''調和関数'''（ちょうわかんすう、harmonic function）とは[[ラプラス方程式]]の解となる[[関数 (数学)|関数]]のことをいう。

調和関数に関する重要な問題は[[ディリクレ問題]]である。ディリクレ問題の解決方法にはいくつかあるが、その中でも重要な一般的方法は[[ディリクレの原理]]である。

20世紀には、[[ウィリアム・ホッジ|ホッジ]]、[[ジョルジュ・ド・ラーム|ド・ラーム]]、[[小平邦彦]]は調和積分論を発展させた。

== 定義 ==
関数 ''f'': '''C'''<sup>''n''</sup> (resp. '''R'''<sup>''n''</sup>) &rarr; '''C''' (resp. '''R''') が[[ラプラス作用素]] 
:<math>\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2}{\partial x_2^2} + \cdots + \frac{\partial^2}{\partial x_n^2}</math>
に対し、&Delta;''f'' = 0 を満たすとき、関数 ''f'' は'''調和的''' (harmonic) である、あるいは ''f'' は'''調和関数'''であるという。

=== 例 ===
* ''z'' = ''x'' + ''iy'' (''x'', ''y'' &isin; '''R''') を複素[[変数 (数学)|変数]]とする複素関数 ''w'' = ''f''(''z'') に対し、''w'' = ''u'' + ''iv'' (''u'', ''v'' &isin; '''R''') とおくと、実 2 変数の実数値関数 ''u'' = ''u''(''x'', ''y''), ''v'' = ''v''(''x'', ''y'') が得られる。このとき、''w'' が複素微分可能であれば ''u'', ''v'' は 2 変数の調和関数となる。

2 つの調和関数が[[コーシー・リーマンの関係式]]を満たすとき、共役である。共役な調和関数の対から、正則関数 ''z'' = ''x'' + ''iy'' が与えられる。

== 一般化 ==
[[微分形式]]に対するホッジ-ラプラシアンなどの「ラプラス作用素の類似物」が与えられれば、それに関して同様の調和関数（調和形式、調和写像）が定義できる。

=== 複体上の調和関数 ===
[[ホモロジー群|鎖複体]] '''X''' = {''X''<sub>''n''</sub>} に対し、[[複素数]] '''C''' 係数の双対鎖複体 '''A''' = Hom('''X''', '''C''') = {''A''<sup>''n''</sup> = Hom(''X''<sub>''n''</sub>, '''C''')} を考える。ただし、Hom(''X''<sub>''n''</sub>, '''C''') は ''X''<sub>''n''</sub> から '''C''' への写像全体の作る[[関数空間]]で、値での演算から '''C''' 上の[[ベクトル空間]]になっている。このとき、以下の条件を満たすことを仮定する。
: 各 ''A''<sup>''n''</sup> は正定値[[内積]] (&middot;, &middot;) を持ち、'''A''' における双対境界作用素 &part; = {&part;<sup>''n''</sup>} は内積 (&middot;, &middot;) に関して共役な（次数つきベクトル空間としての）-1 次の準同型 ''d'' = {''d''<sup>''n''</sup>} をもつ。
このとき、双対鎖複体 '''A''' における'''ラプラス作用素'''とは
:<math>\Delta = \partial\circ d + d \circ\partial</math>
で定義される次数つきベクトル空間としての 0 次の準同型 &Delta; のことと定義する。

''f'' &isin; ''A''<sup>''n''</sup> が &Delta;''f'' = 0 をみたすとき、''f'' は'''調和的'''であるとか ''n'' 次の'''調和関数'''であるなどという。

: ラプラス作用素 &Delta; に関する、'''A''' 上 ''n'' 次の '''C''' 係数調和関数全体の成すベクトル空間を Harm<sup>''n''</sup>('''X'''; '''C''') と表すことにする。このとき、調和関数全体の成す次数つきベクトル空間 Harm('''X'''; '''C''') = {Harm<sup>''n''</sup>('''X'''; '''C''')} は、'''C''' 係数[[コホモロジー群]] ''H''('''X'''; '''C''') = {''H''<sup>''n''</sup>('''X'''; '''C''')} と次数つきベクトル空間として同型である。

== 関連項目 ==
* [[ラプラス方程式]]
* [[ド・ラームコホモロジー#ホッジ分解|ホッジ分解]]
* [[重調和関数]]

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[[Category:関数]]
[[Category:微分方程式]]
[[Category:数学に関する記事]]