複体のソースを表示

[[Image:Simplicial complex example.svg|thumb|right|複体の例]]

'''単体的複体'''（たんたいてきふくたい、''simplicial complex''）あるいは'''複体'''（ふくたい、''complex''）は、複数の[[単体 (数学)|単体]]を、同じ次元の面（部分単体）同士で貼り合わせてできる図形。単体の持つ性質から、複体およびその面は、それが含む頂点集合を決めることによって一意的に定まり、複体を頂点集合とその部分集合の族の組として[[組合せ論]]的に扱うことができる。

== 定義 ==
有限個の単体の集合 ''K'' が、以下の条件を満たす時、''K''を単体的複体であると言う。
# ''a'' &isin; ''K'' かつ ''c'' が ''a'' の面ならば ''c'' &isin; ''K''。
# ''a'', ''b'' &isin; ''K'' ならば、''a'' &cap; ''b'' は ''a'' の面かつ ''b'' の面。

=== 順序集合としての定義 ===
単体的複体は順序集合としても定義され、それは既に与えた組合せ論的定義と等価である。順序集合 (''X'', &le;) が'''単体的''' (''simplex-like'') であるとは、''a'' &isin; ''X'' ならばある[[有限集合]] ''V''<sub>''a''</sub> が存在して
:<math>X_{\leq a} = \{ f \in X \mid f \leq a  \} \simeq \mathfrak{P}(V_a)</math>
なる順序同型が成立することとする（右辺は ''V''<sub>''a''</sub> の[[べき集合]]。また、空集合に合致する部分を除く場合もある）。このとき、順序集合 (&Delta;, &sub;) が
# ''X'' &isin; &Delta; ならば ''X'' は単体的、
# ''X'', ''Y'' &isin; &Delta; ならば、順序 &sub; に関する下限 ''X'' &and; ''Y'' が存在する。
という条件を満たすとき、&Delta; は単体的複体であるという。

== 例 ==
たとえば、二次元の世界で、[[正方形]]に[[対角線]]を一本入れた図形は、複体である。なぜなら、この図形は[[三角形]]二つからなっているが、その二つの三角形の共通部分は、対角線であり、両方の三角形の面（この場合は線分）になっているからである。

もし、正方形に対角線を二本入れた図形を考えた場合、この図形は複体ではない。なぜなら、正方形の頂点を右回りに ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' とおくと、三角形 ''abc'' と三角形 ''bcd'' の共通部分は、正方形の中心点となる。中心点は、三角形 ''abc'' と三角形 ''bcd'' に含まれるが、両者の面ではない。

== 諸概念 ==
=== 頂点・面 ===
二つの単体 ''a'', ''b'' に対し、''a'' &sub; ''b'' が成り立つことを、''a'' は ''b'' の面 (face) であるという（普通は面といえば二次元の幾何学的対象であるが、今の場合は各単体の次元は問わない）。また &sub; の定める順序を'''面関係''' (''face relation'') ということがある。頂点は面関係に関して（空集合を除いて）極小な単体として特徴付けられる。

=== 準同型 ===
複体の間の、単体の構造を保つ写像を'''単体写像'''、'''複体の準同型'''あるいは'''複体の射'''、または単に複体の間の写像などという。具体的には 2 つの複体 ''K'', ''L'' があるとき、''K'' の頂点集合 ''V''<sub>''L''</sub> から ''L'' の頂点集合 ''V''<sub>''K''</sub> への写像 ''f'' が引き起こす ''K'' に属する単体全体のなす集合から ''L'' に属する単体全体の成す集合への写像 ''f''<sup>*</sup> が包含関係による順序を保つとき、''f'' は複体の間の写像であるという。''f'' および ''f''<sup>*</sup> がともに全単射であれば、2 つの複体は'''単体同型'''という。

二つの複体 ''K'', ''L'' が単体同型ならば、二つの図形 |''K''|, |''L''| は位相同型であるという定理があり、この定理を用いると、曲線を用いない図形について、位相同型性を簡単に示すことができる。

== 関連項目 ==
* [[鎖複体]] (chain complex)
* [[CW複体]] (CW-complex)
* [[胞体複体]] (cell complex)
* [[多面体的複体]] (polyhedral complex)

{{DEFAULTSORT:ふくたい}}
[[Category:位相幾何学]]
[[Category:多胞体]]
[[Category:組合せ論]]
[[Category:数学に関する記事]]